Her halka bir değişmeli gruptur

Question

Hocalarım şu şekilde düşündüm.

(R,T,┴) bir halka olsun. (R,T) değişmeli gruptur. (R,┴) ise kapalılık ve birleşme özelliklerini sağlar. ┴, T işlemine soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.

Değişmeli bir halka olabilmesi için R deki her a , b elemanı için aTb=bTa , a┴b=b┴a özelliklerini sağlaması gerekir.

Değişmeli halkaya değişmeli grup diyebiliriz, şeklinde düşündüm.

Halkanın değişmeli olabilmesi için 2. işlemin R de değişme özelliğini sağlaması gerekmiyormuş. Bunun neden gerekmediğini açıklayabilir misiniz?

Neden her halka bir değişmeli gruptur ?

Hocalarım cevaplarınız için şimdiden çok teşekkür ederim.

Answer 1

Aslında ilk bunu yorum olarak yazmıştım ama sonradan vazgeçtim.

Halka olma koşulu bir kere değişme özelliğine bağlı değil.

R boş olamayan bir küme ve iki işlemimiz var bunlar + ve . R'ye halka diyoruz eğer

toplamaya göre grup  

çarpmaya göre yarı grup ve

Son olarak, çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği varsa

Burada değişme özelliği ile ilgili hiçbir şey belirtmedim. Eğer Halkanın her elemanı birbirleriyle yer değişebiliyorsa o halde bu halkaya, değişmeli halka diyoruz

Hatta bu yapıya cisim diyoruz.

Her halka cisim değildir. Çok bilenen bir örnek olarak Quaternion Ring (Değişmeli değildir bundan dolayı cisim değildir)

Yada 2×3 Reel katsayılı matrisleri düşün bu da bir ring. (Cisim değil çünkü matrisler tersinebilir değil)

Comments

Soru "toplama işlemi neden değişmeli?"

---

ya ben mi yanlis biliyom, halka olmak icin toplama islemi altinda kumenin abelyen grup olmasi gerekmiyor mu, yada daha kisaca toplama degisme ozelligini saglamali sanki ? verdigin butun orneklerde toplama islemi degisme izelligini de sagliyor

---

carpma altinda da monoid olmasi gerekmiyor mi, semi grup olsa identity olmuyor

---

Hocam toplamanın aksimyolarına göre toplama reel sayılarda değişmelidir. Her a,b elemanıdır R için a+b=b+a eşitliği sağlanır.

---

Aslında evet, toplamaya göre abel grup olmalı ama şimdi düşününce toplamaya göre abel olmayan grup örneği var mı?

Answer 2

Kavram ile ilgili bir yanlış anlaşılma olduğunu düşünüyorum, onu yazının sonuna ekledim.

 

Hem wiki(İngilizce) hem de wiki(Türkçe) sayfalarından cebirsel bir yapı olan Halka'nın tanımına bakarsak ($R$ sembolünü illa $\mathbb R$ gerçel sayılar gibi düşünmeyiniz)

$(R, +, \cdot )$ cebirsel yapısının halka olabilmesi için ilk şart

$\bullet$ $(R, +)$ değişmeli grup olmalıdır.

Sonra diğer şartlar da sıralanıyor:

$\bullet$ $(R, \cdot)$ yarıgrup olmalıdır.

$\bullet$ ''$\cdot$'' işlemi, "$+$" işlemi üzerine sağdan ve soldan dağılma özelliğine sahip olmalıdır.

Şimdi $(R, +, \cdot )$ halkasının değişmeli olmasının tanımı da şöyle veriliyor:

Her $a, b \in R$ için $a\cdot b = b\cdot a$ değişme özelliği sağlanıyorsa $(R, +, \cdot)$ halkası değişmelidir denir.

$(R, +, \cdot )$ bir halka olarak verildiyse ve bu halkanın değişmeli olduğunu araştırıyorsak, halka kavramının tanımına rağmen ''$(R, +)$ neden değişmeli gruptur?'' diye bir soru sormak absürd olurdu. Yine de sorulursa, $(R, +)$ nın değişmeli grup olması artık Allah'ın emridir, derim. Verilen bir halkanın değişmeli olup olmaması ikinci işleme ('' $\cdot $'' işlemine göre) incelenir.

 

''Halkanın değişmeli olabilmesi için 2. işlemin $R$ de değişme özelliğini sağlaması gerekmiyormuş''

 

Bu ifade doğru değil. Tam aksine, bir halkanın değişmeli olabilmesi için ikinci işlemin $R$ de değişme özelliğini sağlaması gerekir. Bence, dersi sunan hoca koyu renkle alıntıladığım cümleyi kurmamıştır ama dinleyiciler biraz yanlış anlamıştır. Biraz falcılık yapmak gerekirse olay şöyle gerçekleşti:

Hoca: ''Halkanın birinci işleme göre değişmeli olmasına rağmen, ikinci işleme göre değişme özelliğinin olması gerekmez arkadaşlar. $(M_{2\times 2}(\mathbb R), +, \cdot )$ gerçel matrisler halkasında olduğu gibi, çarpmanın değişme özelliği yoktur.''

Öğrenci: ''Hımm tamam, halkanın değişmeli olabilmesi için 2. işlemin $R$ de değişme özelliğini sağlaması gerekmiyormuş''