Question

$\sum a_n$ yakınsak ise $\sum (a_n)^2$ için ne diyebiliriz?

Limit testini kullanmak istedim. $a_n$ ' in yakınsak olduğunu biliyoruz. $lim_{n\to \infty} \dfrac {(a_n)^2}{a_n}=a_n=0$

Yakınsak demek bu kadar kolay mı?

Comments

Yine, Limit Karşılaştırma Testi sadece pozitif terimli serilerde kullanıabilir.

Bu seri pozitif terimli mi? Aksi halde, Limit Karşılaştırma Testi kullanılamaz.

---

Notlarıma yazdığım kadarıyla belirtilmemiş

---

$\sum a_n$  pozitif terimli olsun. $\sum a_n$ yakınsak ise genel teriminin limiti $0$  olduğundan $|a_n|\lt\epsilon$ olacak şekilde bir $\epsilon\gt0$  sayısı mevcuttur. $\epsilon=1$  seçerseniz $|a_n|\lt1$ ve dolayısıyla $(a_n)^2\lt a_n$ olur.

---

$\sum a_n$ pozitif terimli değilse, $\sum (a_n)^2$ yakinsak olmak zorunda değil.

---

Benim yaptğımda doğru değil mi ?

---

Çözümünüz, pozitif terimli seriler için,  (bazı terimlerin 0 olması durumunun düşünülmemiş olması dışında) doğru, ama soruda terimlerin pozitif olduğu belirtilmemiş.

(Dediğim gibi, $\sum a_n$ pozitif terimli bir seri değilse, $\sum(a_n)^2$ serisi yakınsak olmak zorunda değil. Böyle bir seri örneğini bir yerde görmüşsünüzdür.)

---

$\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ yakinsar, ama $\sum\frac{1}{n}$ iraksar

---

Verdiğiniz örnek alterne değil mi?

---

$\sum a_n$ yakınsak ama pozitif terimli değilse, $\sum (a_n)^2$ nin yakınsak olmayabileceğine bir  örnek vermiş @eloi.