Kompakt tümleyenler topolojisi için bir baz yazınız.

Question

$(\mathbb{R},\mathcal{U})$ alışılmış topolojik uzay olmak üzere $$\tau^*:=\{\mathbb{R}\setminus A|(A\subseteq \mathbb{R})(A, \ \mathcal{U}\text{-kompakt})\}\cup \{\emptyset\}\subseteq 2^{\mathbb{R}}$$ ailesi, -ilgili linkteki sorudan da anlaşılacağı üzere- $\mathbb{R}$ kümesi üzerinde bir topolojidir.

Bu topoloji için bir baz yazınız.

Answer 1

$(\mathbb{R},\mathcal{U})$ alışılmış topolojik uzayında $\mathcal{U}$-kompakt kümeler, $\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesinin kapalı ve sınırlı altkümeleridir. Dolayısıyla $\tau^*$ topolojisine ait kümeler, alttan ve üstten sınırsız olacaktır.

Birkaç gözlem yapacak olursak

1) $[0,1]$ kümesi $\mathcal{U}$-kompakt ve tümleyeni $(-\infty,0)\cup (1,\infty)$

2) $[0,1]\cup [2,3]$ kümesi $\mathcal{U}$-kompakt ve tümleyeni $(-\infty,0)\cup (1,2)\cup (3,\infty)$

3) $\{\frac1n|n\in\mathbb{N}\}\cup \{0\}$ kümesi $\mathcal{U}$-kompakt ve tümleyeni $(-\infty,0)\cup \ldots (\frac13,\frac12)\cup (\frac12,1)\cup (1,\infty)$

4) $\{0\}$ kümesi $\mathcal{U}$-kompakt ve tümleyeni $(-\infty,0)\cup (0,\infty)$

5) $\{0,1,2\}$ kümesi $\mathcal{U}$-kompakt ve tümleyeni $(-\infty,0)\cup (0,1)\cup (1,2)\cup (2,\infty)$

olur. Bu bilgiler ışığı altında $$\mathcal{B}=\{(-\infty,a)\cup (b,c)\cup (d,\infty)|a\leq b\leq c\leq d\}$$ ailesinin $\tau^*$ topolojisi için bir baz olacağını görmek zor olmasa gerek.