$\mathcal{B}_1$ ailesinin baz olduğu bariz.
$\mathcal{B}_2$ ailesi de $\tau$ topolojisi için bir bazdır. Gösterelim.
$a\in\mathbb{Q}$ olmak üzere $(-\infty,a)$ şeklindeki kümeler ile $\emptyset$ ve $\mathbb{R}$ kümelerinin $\mathcal{B}_2$ ailesinin bir altailesinin birleşimi şeklinde yazabiliriz. Şöyleki:
- $\mathcal{A}:=\emptyset\subseteq \mathcal{B}_2$ ve $\bigcup\mathcal{A}=\emptyset,$
- $\mathcal{A}:=\{\mathbb{R}\}\subseteq \mathcal{B}_2$ ve $\bigcup\mathcal{A}=\mathbb{R},$
- $a\in\mathbb{Q}$ olsun. $a$ rasyonel sayısı pozitif de olsa negatif de olsa $(-\infty,a)$ kümesinin $\mathcal{B}_2$ ailesinin bir altailesinin birleşimi şeklinde yazmak kolay.
Burada $a\in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ olduğunda $(-\infty,a)$ şeklindeki kümelerin $\mathcal{B}_2$ ailesinin bir altailesinin birleşimi şeklinde nasıl yazılabileceğini düşünmemiz lazım.
$a\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ ve $a$ pozitif olsun.
Genel terimi $\frac{\lfloor a\cdot 10^n\rfloor}{10^n}$ olan $\left(\frac{\lfloor a\cdot 10^n\rfloor}{10^n}\right)$ dizisi, artan bir rasyonel sayı dizisidir. $$\mathcal{A}:=\left\{\left(-\infty,\frac{\lfloor a\cdot 10^n\rfloor}{10^n}\right)\Big{|}n\in\mathbb{N}\right\}\subseteq \mathcal{B}_2$$ ve $$(-\infty,a)=\bigcup \mathcal{A}$$ olur. Dolayısıyla $a$ rasyonel ve pozitif sayı iken $(-\infty,a)$ kümesinin $\mathcal{B}_2$ ailesinin bir altailesinin birleşimi şeklinde yazılabileceğini göstermiş olduk. $a$ rasyonel ve negatif sayı iken de benzer işler yapılabileceğini sana bırakalım @Dilekakln.