Topolojik Uzaylarda Baz-XI

Question

$\mathbb{R}$'de $\tau=\left\{A\big{|}|\setminus A|\leq\aleph_0\right\}\cup\{\emptyset\}$

ailesi, $\mathbb{R}$ kümesi üzerinde bir topolojidir.

Bu topoloji için bir baz yazınız.

Ben aşağıdaki şekilde buldum. Başka neler olabilir?

                                               $\mathcal{B}_1 =\left\{A\big{|}|\setminus A|\leq \aleph_0\right\}\cup\{\emptyset\}$

                                               $\mathcal{B}_2 =\left\{A\big{|}|\setminus A|\leq \aleph_0\right\}$

Answer 1

Bu topolojinin sadece iki tane bazı vardır. Onları da sen yazmışsın @Dilekakln. Başka da bazı yoktur. Mesela $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ kümesi bu topolojik uzayda açık bir kümedir. Bu kümeyi senin yazmış olduğun ailelerden çıkardığımızı düşünelim. Bu durumda  $$\mathcal{B}_{1}^{'}=\{A||\setminus A|\leq\aleph_0\}\setminus \{\mathbb{R}\setminus \{0\}\}$$ ve $$\mathcal{B}_{2}^{'}=(\{A||\setminus A|\leq\aleph_0\}\cup \{\emptyset\})\setminus \{\mathbb{R}\setminus \{0\}\}$$ ailelerini elde ederiz. Ancak $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ açık kümesini söz konusu bu ailelerin hiçbir altailesinin birleşimi şeklinde yazamayız.