$A\in \tau$ olsun. Amacımız (baz tanımı gereği) $A$ kümesinin, $\mathcal{B}$ ailesinin bir altailesinin birleşimi şeklinde yazılabileceğini göstermek.
- $A\in \tau$ ve $A=\mathbb{R}$ olsun.
$\mathbb{R}$ kümesini, $\mathcal{B}$ ailesinin bir altailesinin birleşimi şeklinde yazmak kolay. $\mathcal{A}:=\{\mathbb{R}\}$ alınırsa hem $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{B}$ hem de $\mathbb{R}=\bigcup\mathcal{A}$ olur.
- $A\in\tau$ ve $A\neq \mathbb{R}$ olsun.
Her $A\subseteq \mathbb{R}$ için $A=\bigcup\{\{x\}|x\in A\}$ olduğundan $A\in\tau$ ise $\mathcal{A}:=\{\{x\}|x\in A\}$ alınırsa hem $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{B}$ hem de $A=\bigcup\mathcal{A}$ olur. Dolayısıyla
$\mathcal{A}:=\{\{x\}|x\in A\}\subseteq \tau$
alırsak
$A=\bigcup\{\{x\}|x\in A\}=\bigcup\mathcal{A}$
olacağından herhangi bir açık kümenin $\mathcal{B}$ ailesinin bir altailesinin birleşimi şeklinde yazılabileceğini görmüş oluruz. O halde $\mathcal{B}$ ailesi, $\tau$ topolojisi için bir bazdır.