Question

$X\neq\emptyset$ küme, $\mathcal{A}\subseteq 2^X$ ve $\mathcal{T}:=\{\tau|(\mathcal{A}\subseteq \tau)(\tau, X\text{'de topoloji})\}$ olmak üzere $$\tau_{\mathcal{A}}=\min \mathcal{T}$$ olduğunu gösteriniz.

 

Yani $\mathcal{A}$ ailesinin doğurduğu topolojinin, $\mathcal{A}$ ailesini kapsayan $X$ üzerindeki tüm topolojilerin en küçüğü olduğunu gösteriniz. 

 

Tanım: $X\neq\emptyset$ küme ve $\mathcal{A}\subseteq 2^X$ olmak üzere
$$\left\{\bigcup\mathcal{B}^*\big{|}\mathcal{B}^*\subseteq \mathcal{B}=\left\{\bigcap\mathcal{A}^*\big{|}(\mathcal{A}^*\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0)\right\}\right\}$$ ailesi, $X$ kümesi üzerinde bir topolojidir. Bu topolojiye $\mathcal{A}$ ailesinin doğurduğu topoloji denir ve $\tau_{\mathcal{A}}$ ile gösterilir.

Answer 1

$$\tau_{\mathcal{A}}=\min\mathcal{T}$$ olduğunu göstermek için $$\tau_{\mathcal{A}}\in \mathcal{T}$$ ve $$\forall \tau(\tau\in\mathcal{T}\Rightarrow \tau_{\mathcal{A}}\subseteq\tau)$$ önermelerinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

$\tau_{\mathcal{A}}\in \mathcal{T}$ olduğunu göstermek için $\tau_{\mathcal{A}}$ ailesinin $\mathcal{A}\subseteq \tau_{\mathcal{A}}$ koşulunu sağlayan $X$'de bir topoloji olduğunu göstermeliyiz. $\tau_{\mathcal{A}}$ ailesinin $X$'de topoloji olduğunu göstermek zor değil. Hatta bunu bir soru olarak siteye ekleyeyim. $\mathcal{A}\subseteq \tau_{\mathcal{A}}$ olduğunu gösterelim.

$A\in\mathcal{A}$ olsun.
$\left.\begin{array}{r} A \in \mathcal{A} \\ \\ \mathcal{A}^*:=\{A\} \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{l} \\ \\ \!\! \left. \begin{array}{rr} (\mathcal{A}^ *\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|=1 < \aleph_0)\Rightarrow A = \bigcap \mathcal{A}^* \in \mathcal{B} \\ \\ \mathcal{B}^*:=\{A\}\end{array} \right\} \Rightarrow  \end{array}$

$\left.\begin{array}{r} \Rightarrow (\mathcal{B}^*\subseteq \mathcal{B})(A=\cup\mathcal{B}^*)  \\ \\ \tau_{\mathcal{A}}=\{\cup \mathcal{B}^*|\mathcal{B}^*\subseteq \mathcal{B}\end{array}\right\} \Rightarrow A\in\tau_{\mathcal{A}}$

O halde $$\mathcal{A}\subseteq \tau_{\mathcal{A}}$$ olur. Dolayısıyla $$\tau_{\mathcal{A}}\in \mathcal{T}\ldots (1)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermiş olduk.

 

Şimdi de $$\forall \tau(\tau\in\mathcal{T}\Rightarrow \tau_{\mathcal{A}}\subseteq\tau)$$ önermesinin doğru olduğunu gösterelim.

$\tau\in\mathcal{T}$ olsun. Amacımız $\tau_{\mathcal{A}}\subseteq \tau$ olduğunu göstermek.

$T\in\tau_{\mathcal{A}}$ alalım.

$T\in\tau_{\mathcal{A}}\Rightarrow (\exists\mathcal{B}^*\subseteq\mathcal{B})\left(T=\cup\mathcal{B}^*=\bigcup_{B\in\mathcal{B}^*}B\right)$

$$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (\forall B\in\mathcal{B}^*)(\exists \mathcal{A}_B^*\subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A}_B^*|<\aleph_0)\left(T=\bigcup_{B\in\mathcal{B}^*}\left(\bigcap\mathcal{A}_B^*\right)\right) \\ \\ \tau\in\mathcal{T}\Rightarrow (\mathcal{A}\subseteq \tau)(\tau, X\text{'de topoloji})\end{array}\right\}\Rightarrow T\in\tau$$ olur. Yani $$\forall \tau(\tau\in\mathcal{T}\Rightarrow \tau_{\mathcal{A}}\subseteq \tau)\ldots (2)$$ önermesi de doğru.

O halde $$(1),(2)\Rightarrow \tau_{\mathcal{A}}=\min\mathcal{T}$$ elde edilir.