$\{x^2\}+\{x\}=0,99$ denkleminin sonsuz pozitif rasyonel çözümü olduğunu ama $\{x^2\}+\{x\}=1$ denkleminin hiç pozitif rasyonel çözümü olmadığını gösteriniz

Question

Pozitif rasyonel sayılarda,

$\{x^2\}+\{x\}=0,99$ denkleminin sonsuz çözümü olduğunu ama

$\{x^2\}+\{x\}=1$ denkleminin hiç çözümü olmadığını gösteriniz.

(Önceki gibi $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$,  $\lfloor\:\rfloor$: Tam Değer)

(Romanya da, 2004 yılında, 9. sınıf öğrencilerine sorulmak üzere hazırlanmış)

Answer 1

Basitçe çözmeye çalışalım.

1. $x$ tamsayı olamaz. ($10$ tabanında) $\{x\}$ virgülden sonra tek basamaklı (o zaman karesi virgülden sonra 2 basamaklı  olur)  ise  ($x^2$ nin virgülden sonra 2. basamağının $9$ olması için) bu basamak $3$ veya $7$ (yani $\{x\}=0,3$ veya $0,7$) olmalıdır. Birkaç deneme ile, $a=1,3$ ( ve $a=2,7$) çözümünü buluruz. Şimdi bunlardan yeni çözümler üretelim.

($n\in\mathbb{N}$ olmak üzere) $x=5n+a$ ise $\{x\}=\{a\}$ ve $x^2=25 n^2+10 a+a^2$ olur ve ($10a\in\mathbb{N}$ olduğundan)

$\{x^2\}=\{a^2\}$ olur ve

  $\{x\}^2+\{x\}=\{a^2\}+\{a\}=0,99$ sağlanır.

2. $x,\ \{x\}^2+\{x\}=1$ denkleminin (pozitif rasyonel) bir çözümü olsun.

$x^2+x=\lfloor x^2\rfloor+\{x^2\}+\lfloor x\rfloor+\{x\}=\lfloor x^2\rfloor+\lfloor x\rfloor+1\in\mathbb{N}^+$ olur.

Ama, $x^2+x-n$ ($n\in\mathbb{N}^+$) polinomunun rasyonel kökü tamsayı olmak zorundadır ve tamsayıların bu ($\{x^2\}+\{x\}=1$) denklemin çözümü olmadığı  aşikar.

Ama, $\{x^2\}+\{x\}=1$ denkleminin rasyonel olmayan çözümleri var ve en azından birini bulmak zor değil.