$(p,q)$ bu eşitliği sağlayan bir asal sayı çifti olsun.
$p=q$ olsaydı, bu eşitlikten, $p\mid 1$ yanlış sonucuna ulaşırdık. Öyleyse $p\neq q$ olmalıdır.
Bu asal sayılardan (denklem simetrik olduğundan) büyük olanına $p$ diyelim, $p>q$ olur.
$p^2\mid q^3+1$ olduğu görülüyor. $q^3+1=(q+1)(q^2-q+1)$ dir.
$p>q$ olduğundan $p^2>q^2-q+1$ olur, bu nedenle, $p^2\nmid q^2-q+1$ dir.
$p$ asal olduğundan, $p\mid q+1$ olmalıdır.
$q$ tek olsaydı, $p$ de tek olur ve ($p>q$ oluşundan) $p>q+1$ olurdu. Bu ise, $p\mid q+1$ olması ile çelişir.
Öyleyse $q=2$ olmalıdır. $p$ asal (EK: ya da $p>2$) ve $p\mid3$ olduğu için $p=3$ olmak zorundadır.
$p=3,\ q=2$ çiftini denklemi sağladığı kolayca görülüyor.
Denklem sistemini sağlayan biricik asal sayı çifti $\{2,3\}$ dür.