$p,q$ iki farklı asal sayılar için öyle $a,b$ pozitif tam sayıları var ki ${a\over p} + {b\over q} + {1\over pq} = 1$ sağlanır, ispatlayınız

Question

İki farklı $p,q$ asal sayıları için öyle iki $a,b$ pozitif tam sayıları vardır ki

$\frac{a}{p} + \frac{b}{q} + \frac{1}{pq} = 1$

eşitliği sağlanır, ispatlayınız.

Bu soruyu sorma sebebim bir Lisans 3. sınıf öğrencisi olarak Grup Teorisi çalışırken eşitliği fark edip yine Grup Teorisi ile ispatlamam fakat bu sorunun henüz görmediğim Sayılar Teorisi ile nasıl ispatlandığını merak etmemdir, teşekkür ederim

Comments

Güzel bir soru.

Asal olmaları şart değil.

$p,q>1$ ve $(p,q)=1$ (aralarında asal) olması yeterli. Biraz modüler aritmetik ile gösterilebiliyor.
EK: Aralarında asal değilse, böyle $a,b$ bulunamaz (kolay).

---

Eğer aralarında asal olmaları yetiyorsa çok daha iyi Doğan hocam,  benim eşitliği görmemi sağlayan şey $p,q$ iki farklı asal sayıları için $|G| = pq$ ve Abelyen olmayan bir $G$ grubunun sınıf denklemini arayışımdı. Bu özelliklere sahip $G$ grubunun merkezi $Z(G) = \{1_G\}, |Z(G)| = 1$  olur ve eşlenik sınıflarının eleman sayısı ya $p$ ya $q$ olduğundan $p$ elemana sahip eşlenik sınıf sayısına $a$ ve $q$ elemana sahip eşlenik sınıf sayısına $b$ dersek,

$pa + qb + 1 = pq$

eşitliğini sağlayan $a$ ve $b$ pozitif tam sayıları mevcuttur.

---

İlginç bir yol imiş. Ama,  bazı $p,q$ lar için $|G|=pq$ ise $G$ abelyen olmak zorunda (Sylow un Teoremlerinden)

Answer 1

$x,y>1$ ve $ebob(x,y)=1$ (aralarında asal) doğal sayılar olsun.

$(x-1)y,\ldots, 2y,y$    ($x-1$ tane) doğal sayılarını düşünelim.

Bunların hiçbiri ($x,y$ aralarında asal olduğundan) $x$ e tam bölünmez.

Ayrıca herhangi ikisinin farkı da, aynı nedenle, $x$ e tam bölünmez.

Öyleyse bu sayılar, $\mod x$ birbirinden farklı ve tümü $\equiv\!\!\!\!\!\backslash\; 0\mod x$ dir.

Öyleyse, bunlardan (sadece) biri $\equiv1\mod x$ olur.

(Grup dilinde: $f:(\mathbb{Z}_x,+)\to (\mathbb{Z}_x,+),\quad f([n])=[yn]$ bir 1-1 homomorfizma ve  grup sonlu olduğu için izomorfizmadır. Aslında homomorfizma olması da önemli değil, $[0]\mapsto[0]$ olması yetiyor.)

$cy\equiv1\mod x$ olsun. $1\leq c<x$ olduğundan, $1\leq x-c<x$ olur.

$a=x-c$ ve $b={cy-1\over x}$ olsun. $a,b\in\mathbb{N}^+$ olur.

$bx=cy-1$ ve bunun sonucu olarak, $bx=(x-a)y-1=xy-ay-1$ ve düzenlenirse

$bx+ay+1=xy$ elde edilir. Her iki taraf $xy$ ye bölündüğünde, $\frac ax+\frac by+\frac1{xy}=1$ elde edilir. 

EK: $a$ ve $b$ nin biricik olduğu da, kolayca, gösterilebilir.

Answer 2

İfadeyi $aq+bp+1=pq$ olarak düzenleyelim. Aralarında asallığı kullanabilmek için $$(p-a)q+(-b)p=1$$ olarak yazalım.

$(p,q)=1$ olsun.
$x$'yi $q$'nun mod $p$'deki tersi olarak tanımlayalım. ($1\le x <p$.)
Bu durumda bir negatif $y$ tam sayısı için $xq+yp=1$ sağlanır.

Bu durumda
$a=p-x$ ve $b=-y$
seçimini yapabiliriz.

Comments

$a,b$ nin pozitifliğini garanti edebiliyor muyuz?

---

Ah, evet. O kısmı atlamışım.

---

Biraz dikkatsizlik ile aynı fikri farklı bir tarzda yazmış gibi oldum.