Dogal sayilari bir vektor uzayi gibi gormek

Question

Ay sonra anlatacagim konstruksiyon, vektor uzayi midir ? keza oyle ise, hangi cisimin ustune kurulmustur bu vektor uzayi?

Her dogal sayiyi sayilabilir sonsuz boyutlu bir vektor uzayinda nokta olarak gorelim. Bu uzaya bir "baz" verelim. Her asal sayi bir baz vektorune denk gelsin. Misal

$ 1 = (0,0,0,\cdots)$

$ 2 = (1,0,0,\cdots)$

$ 3 = (0,1,0,\cdots)$

$ 4 = (2,0,0,\cdots)$

$ 12 = (2,1,0,\cdots)$

Dogal sayilardaki carpma bu uzaydaki toplamaya denk geliyor. $OBEB$ ve $OKEK$, $min$ ve $max$ operasyonlarina denk geliyor sanirim. Iki sayinin arasinda asal olmasi ise vektorlerinin birbirine dik olmasina denk geliyor galiba.

Gorebildigim kadari ile vektor uzayinin saglamasi gereken butun aksyomlari sagliyor dogal sayilar bu isik altinda. Altta yatan cisim ne peki ? Neyi kaciriyorum?

Comments

Skaler çarpmayı nasıl tanımlıyorsun?

---

Bir elemanın toplama işlemine göre tersi ne? Mesela (1,0,0,0,...,0)'ı neyle toplayıp 0 yapıyorsun?

---

(1,0,0,0,...) vektorunu (yani 2 yi ), (-1,0,0,0,0,..) vektoru ile (yani 1/2) ile toplarsam (carparsam) 0 (yani 1) elde ederim. (demek ki rasyonel sayilari vektor uzayi olarak gormem gerekiyor belki de).

$v$ sayisini ifade eden vektor $V$ yi , bir skalar $n$ ile carpma , $v^n$ e denk geliyor.

skalar carpimi (ic carpim) bayaa eslesen koordinatlari carp sonra hepsini topla olarak canlandirmistim kafamda (bayaa $\mathbb{R}^n $ deki gibi) . Sadece sonlu sayida 0 dan farkli koordinat oldugu icin sonsuz toplam sikinti cikarmamali

---

$\mathbb{N}$ yerine $\mathbb{Z}$ ($\mathbb{Z}$ de + işlemi) kullanılırsa (ki bu toplamaya göre tersin var olması için gerekli)

bu yapı tam olarak  $\oplus_{i\in\mathbb{N}^+}\mathbb{Z}$  olur.

Bu da $(\mathbb{Q}^+,\cdot)$ grubuna izomorf olur.

($\phi:\oplus_{i\in\mathbb{N}^+}\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}^+,\quad \phi(n_1,n_2,\cdots)=2^{n_1}3^{n_2}\cdots$)

Yine de ilginç.

---

Hocam  bu vektor uzayindaki "dogrular" (hiper yuzey ?)  reel sayilara denk olabilir mi ?

---

Olamaz. Çünkü biri sayılabilir, biri sayılamaz.

Öte yandan belki şöyle bir şey istiyor olabilir misin (illa vektör uzayı lazım ise):

$V = \{a \in \mathbb{R} \colon a > 0\}$ olsun. Her $a,b\in V$ için $$a \oplus b = ab$$ ve her $r \in \mathbb{R}$ ve $a \in V$ için $$ r \cdot a = a^r$$ olarak tanımla. O zaman $V$ reel sayılar üzerine bir boyutlu bir vektör uzayı olur. Bu durumda $$\log \colon V \to \mathbb{R}$$ bir lineer dönüşüm olur. (Sadece $e$ tabanında değil, her tabanda log alabilirsin burada aslında). Bu lineer dönüşüm bir izomorfizma, tersi de $$e^x \colon \mathbb{R} \to V$$ ya da hangi tabanda logaritma aldıysan ona göre $e$ yerine başka bir şey alabilirsin.

Ama bu tam olarak nasıl işine yarar bilemedim :)

---

Ya ben neden sayilabilir oldugunu goremedim :(.

Dusunce zincirim su idi:

Reel sayilari Rasyonel sayi dizilerinin limitlerini ekleyerek kurabilirim.

Pozitif rasyonel sayilar yukaridaki uzayda bir nokta.

Bir pozitif rasyonel sayi dizisindeki her elemani bir nokta gibi gorsem, daha sonra o noktalar sanki bir yukarida tarif ettigim uzayin alt uzayi oluyor (mumkunse lineer ama bu saglanmiyor olabilir gercekten senin dedigin gibi bir sayma argumani varsa)

 

----------------------------

Bu uzayda hosuma giden sey $l_1$ birim cemberi ustunde butun asal sayilarin bulunmasi ve belki aralarinda asal kavramini (bu uzayda iki vektorun dik olmasi) rasyonel sayilara tasimami saglamasi