$x^3-3x^2+1$ polinomuna, kısaca, $ P(x) $ diyelim.
$ P(-1)<0,\ P(0)>0,\ P(1)<0,\ P(3)>0 $ olduğundan, bu polinomun $3$ gerçel kökü vardır.
Kökleri $1<\alpha<3,\ 0<\beta<1,\ -1<\gamma<0$ olacak şekilde adlandıralım.
$\forall n\in\mathbb{N}$ için $\alpha^n+\beta^n+\gamma^n$ (köklerin simetrik bir polinomu ve polinomun katsayıları tamsayı olduğu için) bir tamsayıdır.
Ayrıca, $ P(-\frac34)<0 $ ve $ P(\frac34)<0 $ olduğu için $ -\frac34<\gamma<0 $ ve $ 0<\beta<\frac34 $ olur.
Bunlardan $n>2$ ve çift iken $ 0<\beta^n+\gamma^n<1 $ olduğunu elde ederiz.
Öyleyse $ \lfloor\alpha^{2022}\rfloor=\alpha^{2022}+\beta^{2022}+\gamma^{2022}-1 $ olur.
$\alpha^n+\beta^n+\gamma^n$ in katsayılar cinsinden formülü (katsayıların bazı tamsayılar ile çarpım ve toplamı şeklinde olduğu için) $ \mod17 $ için de geçerlidir. $ \mod 17 $ için kökler $ 4,\ 5 $ ve $ 11 $ olduğu için:
($\forall n\in\mathbb{N}$ için) $\alpha^{2022}+\beta^{2022}+\gamma^{2022}\equiv4^{2022}+5^{2022}+11^{2022}\mod17 $ olur.
Küçük Fermat Teoreminden, $ 4^{16}\equiv 5^{16}\equiv 11^{16}\equiv1 \mod17$ olup
$4^{2022}+5^{2022}+11^{2022} \equiv 4^{6}+5^{6}+11^{6}\equiv-1+2+8\equiv9\mod 17$ olur.
$ \lfloor\alpha^{2022}\rfloor\equiv9-1\equiv8\mod17$ bulunur.