$p, q$ asal sayılarının her ikisi de tek sayı veya her ikisi de çift sayı iken $p^q + q^p$ çift sayı olur. $p^q + q^p$, $2$ ile bölünebilen ve $2$ den büyük bir tam sayı olduğundan asal olamaz.
O halde $p, q$ asal sayılarının biri çift, diğeri tek sayı olmalıdır. $p=2$, $q$ tek sayı olsun.
- $q = 3$ iken $p^q + q^p = 2^3 + 3^2 = 17 $ asal sayıdır.
- $q \neq 3$ tek asal sayı iken Fermat teoreminden dolayı $q^2 \equiv 1 \pmod{3}$ tür. Diğer yandan $2^q \equiv (-1)^q \equiv -1 \pmod{3}$ olup $p^q + q^p \equiv 1 + (-1) \equiv 0 \pmod{3}$ elde edilir. $p^q + q^p$, $3$ ile bölünebilen ve $3$ ten büyük bir tam sayı olduğundan asal olamaz.
Böylece aranan $(p,q)$ ikilileri $(3,2)$ ve $(2,3)$ bulunur.