GİRİŞ:
$F$ bir funktor (Şafak Özden işlem diyordu, ingilizce: functor) ve $0\stackrel{0}{\to} A\stackrel{\alpha}{\to} B\stackrel{\beta}{\to} C\stackrel{0}{\to}0$ (modüllerin) bir kısa tam (Şafak Özden "net" kullandı) dizisi olsun. ($FA,FB,FC$ modül ise) Şu soru çok önemli:
$0\stackrel{0}{\to} FA\stackrel{F\alpha}{\to} FB\stackrel{F\beta}{\to} FC\stackrel{0}{\to}0$ her zaman tam (net) midir? ($F$ kontravayant (contravariant) ise oklar ters yönde olacak)
Burada şu soru akla gelmeli ($0$ bir modül olduğu için)
$F0\stackrel{F0}{\to} FA\stackrel{F\alpha}{\to} FB\stackrel{F\beta}{\to} FC\stackrel{F0}{\to} F0$
dizisinin tam olmasını istemek daha doğal değil mi? ($0$ modülü ve morfizması için) $F0=0$ olmak zorunda değil ki!
(Örnek: Her modülü, sabit bir $M\neq0$ modülüne, her morfizmayı da ($M$ nin) birim morfizmasına göndermek bir işlem (functor) tanımlar, ($0$ modülü için)$F0=M$, ($0$ morfizması için) $F0=1_M$ olur.)
Tanım: $F$ (modül kategorileri arasında) bir functor (işlem) olsun. Eğer her $f,g:A\to B$ için $F(f+g)=Ff+Fg$ oluyorsa, $F$ toplamsal (additive) bir functordur deriz.
($F$ toplamsal ise, $0$ morfizması için) $F0=0$ olduğu apaçık.
SORU:
Şunu gösterin:
$F$ toplamsal functor ise ($0$ modülü için) $F0=0$ olmak zorundadır.