Question

$x_1,x_2\in\mathbb{R},$  $x_1<x_2$ ve her $n>2$ için $x_n:=\frac{1}{2}(x_{n-2}+x_{n-1})$ olduğuna göre $(x_n)_n$ dizisinin yakınsak olduğunu gösteriniz. Limitini bulunuz.

Comments

Kısaca

$|x_n-x_{n-1}|=|x_{n-2}-x_{n}|=|x_{n-2}-\dfrac{x_{n-2}+x_{n-1}}{2}|=|\dfrac{x_{n-2}+x_{n-1}}{2}|$

$|x_n-x_{n-1}|=\dfrac{1}{2}|x_{n-2}+x_{n-1}|$  olduğundan dizi büzen dizidir; dolayısıyla Cauchy dizisidir desek kabül olur mu Murad Hocam:)

---

Selam Alper. $$\left|x_n-x_{n-1}\right|=\dfrac{1}{2}\left|x_{n-2}+x_{n-1}\right|$$ değil de $$\left|x_n-x_{n-1}\right|=\dfrac{1}{2}\left|x_{n-1}-x_{n-2}\right|$$ olsaydı büzüşen dizi olurdu. Ama $$\left|x_n-x_{n-1}\right|=\dfrac{1}{2}\left|x_{n-2}+x_{n-1}\right|$$ olması dizinin büzüşen (büzen) dizi olduğunu göstermez. Değil mi?

---

Şimdi fark ettim Alper. Sanırım bir işlem hatası yapmışsın. $$\left|x_n-x_{n-1}\right|=\left|x_{n-2}-x_{n}\right|=\left|x_{n-2}-\dfrac{x_{n-2}+x_{n-1}}{2}\right|=\left|\dfrac{x_{n-2}+x_{n-1}}{2}\right|$$ değil de $$\left|x_n-x_{n-1}\right|=\left|x_{n-2}-x_{n}\right|=\left|x_{n-2}-\dfrac{x_{n-2}+x_{n-1}}{2}\right|=\left|\dfrac{x_{n-2}-x_{n-1}}{2}\right|$$ olur. Bu durumda da senin de mesajında ifade ettiğin gibi dizi büzüşen (büzen) bir dizi olur. Her büzüşen dizi, Cauchy dizisi ve her Cauchy dizisi de yakınsak olduğundan söz konusu dizi yakınsaktır.

---

Peki limitini nasıl buluruz?

Answer 1

$|x_n-x_{n-1}|=|x_{n-2}-x_{n}|=|x_{n-2}-\dfrac{x_{n-2}+x_{n-1}}{2}|=|\dfrac{x_{n-2}-x_{n-1}}{2}|$

$|x_n-x_{n-1}|=\dfrac{1}{2}|x_{n-2}-x_{n-1}|$  olduğundan dizi büzen dizidir ve her büzen dizi Cauchy dizisi olduğundan $(x_n)_n$ dizisi yakınsaktır.

Dizinin öz yineleme(rekurans) bağıntısı  $x_n=\frac{1}{2}(x_{n-2}+x_{n-1})$  sabit katsayılı homejen 2.derece bağıntıdır.

$x_{n-2}=1,x_{n-1}=r, x_{n}=r^2$ alırsak karakteristik denklem  $$2r^2-r-1=0$$  ve $r_1=1, r_2=-1/2$ olacağından $$x_n=(r_1)^nA+(r_2)^nB=A+(-1/2)^nB$$ bulunur. $$x_1=A-B/2$$  $$x_2=A+B/4$$  denklemleri çözülürse  $$A=\dfrac{2x_2+x_1}{3}$$  $$B=\dfrac{4}{3}(x_2-x_1)$$  $$x_n=\dfrac{2x_2+x_1}{3}+\dfrac{4}{3}(x_2-x_1)(-1/2)^n$$ olarak bulunur. Limite geçilirse $$\lim x_n=\dfrac{2x_2+x_1}{3}$$ olmalı.

Comments

$$|x_n-x_{n-1}|=\dfrac{1}{2}|x_{n-2}+x_{n-1}|$$ değil de $$|x_n-x_{n-1}|=\dfrac{1}{2}|x_{n-2}-x_{n-1}|$$ olacak, değil mi?

---

Düzelttim Murad Hocam. Teşekkürler.

Answer 2

$$x_n=\frac{1}{2}(x_{n-2}+x_{n-1})$$ eşitliğinin her iki tarafından $x_{n-1}$ çıkartırsak $$x_n-x_{n-1}=-\frac{1}{2}(x_{n-1}-x_{n-2})$$
elde edilir. Öte yandan $$y_i:=x_{i+1}-x_{i}$$ dersek $$y_i=-\frac{1}{2}y_{i-1}$$ olur. Buradan da $$y_i=\frac{(-1)^{i-1}}{2^{i-1}}\cdot y_1$$ elde edilir. $$\begin{array}{rcl} y_{n+1}-y_1 & = & \Sigma_{i=1}^{n}(y_{i+1}-y_i) \\ \\ & = & \Sigma_{i=1}^{n} \left(\frac{(-1)^{i}}{2^{i}}\cdot y_1-\frac{(-1)^{i-1}}{2^{i-1}}\cdot y_1\right) \\ \\ & = & \Sigma_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{i-1}}{2^{i-1}}\cdot y_1\cdot\left(-2-1\right) \\ \\  & = & -3\cdot y_1\cdot \Sigma_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{i-1}}{2^{i-1}} \end{array}$$ olduğundan $$y_{n+1}=y_1-3\cdot y_1\cdot \Sigma_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{i-1}}{2^{i-1}}$$ yani $$\begin{array}{rcl} y_{n+1} & = & (x_2-x_1)-3\cdot (x_2-x_1)\cdot \Sigma_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{i-1}}{2^{i-1}} \\ \\ & = & (x_2-x_1)-3\cdot (x_2-x_1)\cdot \left[\frac23\cdot \left(1+\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}}\right)\right]\end{array}$$ yani $$y_{n+1}=(x_2-x_1)-2\cdot (x_2-x_1)\cdot \left(1+\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}}\right)$$ olur. Her iki tarafın limiti alınırsa sonuç $$\lim_{n\to\infty} x_n=(x_2-x_1)-3\cdot (x_2-x_1)=2x_1-2x_2$$ bulunur.

Comments

İşlem hataları var. Müsait bir zamanda tekrar ele alacağım.