Konvex bir $f$ icin, $f(y) \geq f^\prime(x)(y-x)+f(x)$ ifadesi dogrudur

Question

Hatta ve hatta cift taraflidir. Yani bir fonksiyon $f $ her $x,y \in \text{dom($f$)}$ icin

   $f(y) \geq f^\prime(x)(y-x)+f(x)$

ifadesini sagliyorsa, $f$ konvekstir

Comments

Normalde, konveks fonksiyon tanımında türevlenebilme koşulu yoktur. Örneğin gerçel sayılarda tanımlı $f(x)=|x|$ fonksiyonu konveks olup $x=0$ da türevsizdir. (Fonksiyonun tanım kümesinin de konveks küme olması gerektiği gibi ön koşul da vardır.) 

Anlaşılırlık için lise matematik kitaplarında daha sade ve özel bir durum için konveks fonksiyon tanımı verilirdi (şimdi müfredetta yok diye biliyorum). Bir $I$ aralığındaki her noktada ikinci türevi olan bir $f$ fonksiyonu verilsin. Her $x\in I$ için $f''(x)>0$ oluyorsa, $f$ fonksiyonuna $I$ aralığında konvekstir denir, şeklinde bir tanım

Sorunun bu sade tanıma göre sorulduğunu varsayarak çözelim.

---

Haklisiniz, $f$ in turevlenebilir oldugunu atlamisim. Diger konvekslik sorumda var bu kosul.

Answer 1

Bahsettiğiniz gibi bu önerme çift taraflıdır

$f$ konvekstir $\iff \forall x,y \in dom(\textbf{f})$, $f(y) \geq (y-x)f'(x) + f(x)$

($\Longrightarrow$) $0 < \alpha$ $< 1$  reel sayısı alalım. $x$ ve $y$'nin $f$'in tanım kümesinde olduğunu biliyoruz, yani "$x + \alpha (y-x)$" ifadesinin de $f$'in tanım kümesinde olduğunu biliyoruz. O halde bu ifade için konveksliğin gerek ve yeter koşulunda bulunan eşitsizliği kullanırsak:
\begin{equation*}
 f(x + \alpha(y-x)) \leq  (1-\alpha) f(x) + \alpha f(y) \longrightarrow  \frac{1}{\alpha}[f(x + \alpha(y-x)) + \alpha f(x) - f(x)] \leq f(y)
\end{equation*}
\begin{equation*}
    f(y) \geq \frac{f(x + \alpha(y-x)) - f(x)}{\alpha} + f(x)
\end{equation*}
Burada $\alpha \rightarrow 0$ aldığımızda da şu sonucu görürüz:
\begin{equation*}
    \lim_{\alpha \rightarrow 0} \frac{f(x + \alpha(y-x)) - f(x)}{\alpha}
\end{equation*}
$\beta = (y-x)\alpha$ için ise
\begin{equation*}
    \lim_{\alpha \rightarrow 0} \frac{f(x + \alpha(y-x)) - f(x)}{\alpha} =  \lim_{\beta \rightarrow 0} \frac{f(x + \beta) - f(x)}{\frac{\beta}{(y-x)}} = (y-x)\lim_{\beta \rightarrow 0} \frac{f(x + \beta) - f(x)}{\beta} = (y-x) f'(x)
\end{equation*}
ve böylece istediğimiz eşitsizlik elde edilir.

($\Longleftarrow$) $x,y$ farklı değerleri ile $0 <$ $\alpha$ $< 1$ sayısı alındığında ve
$z = \alpha x + (1- \alpha)y$ değeri için elimizdeki eşitsizliği iki farklı şekilde kullandığımızda
\begin{equation}
    f(x) \geq f'(z) (x-z) + f(z)
\end{equation}
\begin{equation}
    f(y) \geq f'(z) (y-z) + f(z)
\end{equation}
\begin{equation*}
    \alpha * (1) + (1-\alpha) * (2) \longrightarrow \alpha f(x) + (1-\alpha) f(y) \geq [\alpha(x-z) + (1-\alpha)(y-z)]f'(z) + (1 - \alpha + \alpha)f(z) = f(z)
\end{equation*}
Böylece konveksliğin gerek ve yeter koşulunda bulunan
\begin{equation*}
    \alpha f(x) + (1-\alpha) f(y) \geq f(\alpha x + (1-\alpha)y)
\end{equation*}
eşitsizliği bulunur, yani f konvekstir.