$2^{1/2},3^{1/3},4^{1/4}, \cdots$ sayi dizisinin maksimum elemani

Question

$2^{1/2},3^{1/3},4^{1/4},5^{1/5},6^{1/6} \cdots$ sayi dizisinin maksimum elemani nedir?

Comments

Dizinin son terimi olur, Seri ise  ... şeklinde devam eder.

Ya diziyi  6^(1/6) ile bitireceksiniz 

yada "dizisinin"  yerine "serisinin" demeniz lazım.

max elemanı buna göre siz bulabilmelisiniz..   

---

dizi $n^{1/n}$ seklinde gidiyor. Makimum eleman da (sinirli olsa bile) en sonuncusu olmaz bence. Siz ne kadar eminsiniz?

Answer 1

$n^{1/n}\rightarrow 1,\, n\rightarrow \infty$ olduğu mâlumdur. Dizinin arada bir yerde "sapıtmaması" lâzım. $n=3$ böyle bir nokta. Bundan sonra dizi monoton azalan olduğundan $\displaystyle\max_{n\in\mathbb{N}-\{0,1\}}=3^{1/3}$. 

Minimum elemanı bulmak daha ilginç olabilir. 

Comments

$3^{1/3}$ bundan dada büyük, $6$ dereceden kuvvetleri alınınca $8$'e $9$ gelir. Biraz işlem gerektirebilir, korkutmasa da.

---

Haklısın! $3^{1/3}$ en büyük eleman. 

---

neden $3$?         

---

Aksini varsayalım: Bu durumda öyle bir $k\not=3$ vârolmalı ki $k^{1/k}>3^{1/3}$ olsun. İki tarafı $3k$ kuvvetine kaldırırsak, bu $k$ değeri için $$k^3>3^k$$ sağlanması gerektiği çıkar. 

Böyle bir $k$ var mıdır? Güzel bir gösterimini bulamadım ama yoktur diyeceğim sâdece.

---

$f(x)=x^{1/x}$ fonksiyonunun türev ile yerel minimumu $x=e$ için olacağı gösterilebilir.

---

Minimum eleman cok da ilginc degil ya.

• $n = 1$ icin $n^{1/n} = 1$, 
• $n> 1$ icin $n^{1/n} > 1$,
• $n>2$ icin dizi monoton azalan (burada sana inaniyorum) ve 
• dizimiz $1$'e yakinsiyor.

Bu bilgilerle birlikte, en kucuk degeri $n = 1$'de aliyor ve "ikinci en kucuk" deger yok.

---

Böyle olunca haklısınız Özgür Hocam. Ben Sercan'ın verdiği dizi için bahsetmiştim, $n=2, 3, 4, \dots$

Answer 2

$f(x)=x^{1/x}$ fonksiyonunun türev ile yerel maksimum $x=e$ için olacağı gösterilebilir. Bu nedenle $2^{1/2}$ ya da$3^{1/3}$ sayilarindan biri maksimum olmak durumunda. $2^3<3^2$ oldugundan $2^{1/2}<3^{1/3}$ olur.