Grubun çekirdeği ve grubun eleman sayısı(derecesi) arasındaki bağlantılar. $|Z(G)|\le\dfrac{|G|}{6}$

Question

2 gün önce bölümden bir arkadaşım, laf arasında eğlencesine sorduğu şu soruları buraya paylaşmak istedim.

1. $G$ abelyen olmayan sonlu bir grupsa, $|Z(G)|\le\dfrac{|G|}{4}$ olmalıdır.

2. $G$ abelyen olmayan sonlu bir grup ve $[G,G]\not\subseteq Z(G)$ ise, $|Z(G)|\le\dfrac{|G|}{6}$ olmalıdır.

 

0.(Isınma sorusu): $|Z(G)|\ge |G|/2$ ise grup abelyen olmalıdır.

 

$[G,G]$ commutator/derived/türetilmiş altgrup, $Z(G)$ grubun çekirdeği merkezi/center'i

 

Comments

2. soruda "abelyen olmayan" gereksiz sanırım.

---

sanırım evet hocam, yanıtınız varsa lütfen ekleyin :)

Answer 1

Şunu kullanacağız ($G$ herhangi bir grup olmak üzere):

$G/Z(G)$ devirli (cyclic) bir grup ise $G$ abelyen bir gruptur. ($Z(G)$ nin $G$ nin normal bir alt grubu olduğunu göstermek çok kolay)

Bunu göstermeyi okuyucuya bırakalım (kolay!).

Bundan sonrasında, $G$ sonlu bir grup olsun.

0) $|Z(G)|\geq\frac{|G|}2$ ise ($\left|G/Z(G)\right|\leq2$ olacağından)  $G/Z(G)$ devirli, bunun sonucu olarak $G$ Abelyen olur. (Daha genel olarak $|Z(G)|\geq\frac{|G|}3$ ise de $G/Z(G)$ devirli olur.)

1) $G$ Abelyen olmadığı için,  $G/Z(G)$ devirli olamaz, öyleyse $\left|G/Z(G)\right|\geq4$ (eşdeğer olarak $|Z(G)|\leq\frac{|G|}4$) olur.

2) $[G,G]\not\subseteq Z(G)$ ise $G/Z(G)$ Abelyen olamaz. Öyleyse $\left| G/Z(G)\right|\geq6$ olur. Bu da, $|Z(G)|\leq\frac{|G|}6$ olması demektir.

Comments

hocam 2. part açıklamasını anlamadım

---

$H,\ G$ nin bir normal alt grubu olsun.

$G/H$ Abelyendir $\Leftrightarrow\ [G,G]\subseteq H$ diye (kolayca ispatlanan) bir önerme var.

---

yok hocam  

"Öyleyse $|G/Z(G)|\geq6$" partı.

---

Derecesi 6 dan küçük her grup Abelyen olduğu için.