Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $x\in X$ olsun.
$$((X,\tau), \ T_1 \text{ uzayı})((X,\tau), \text{ bağlantılı})(|X|>1)\Rightarrow \{x\}\notin \tau$$ olduğunu gösteriniz.

Yani birden fazla elemana sahip bağlantılı $T_1$ uzaylarında tek elemanlı kümelerin hiçbiri açık değildir.

Comments

Referans icin:

https://matkafasi.com/123074

---

Evet. İlgili linkte yer alan karakterizasyondan faydalanarak hemen isteneni kanıtlayabiliyoruz.

Answer 1

$x\in X$ olsun ve $\{x\}\in\tau$ olduğunu varsayalım.

$\left. \begin{array}{r} x\in X \\ \\ \color{red}{(X,\tau), \ T_1 \text{ uzayı}} \end{array}\right\} \Rightarrow \begin{array}{c} \mbox{} \\ \mbox{} \\ \left. \begin{array}{r} \{x\}\in \mathcal{C}(X,\tau) \\ \\ \{x\}\in\tau \end{array} \right\} \Rightarrow \{x\}\in \text{Clop}(X)\ldots (1)\end{array}$

 

$\color{red}{(X,\tau), \text{ bağlantılı}}\Rightarrow \text{Clop}(X)=\{\emptyset,X\}\ldots (2)$

 

$\left.\begin{array}{rr}(1),(2)\Rightarrow X=\{x\}\Rightarrow |X|=|\{x\}|=1 \\ \\ \color{red}{|X|>1} \end{array}\right\}\Rightarrow \text{Çelişki}.$

 

NOT: $\text{Clop}(X):=\tau\cap \mathcal{C}(X,\tau)$