$$x^2-10|x|=y$$ $$y^2-10|y|=z$$ $$z^2-10|z|=x$$

Question

$x, y, z$ reel sayılar olsun. $$x^2-10|x|=y$$ $$y^2-10|y|=z$$ $$z^2-10|z|=x$$ ise $x+y+z$ toplamının en küçük değerini bulunuz.

Denklemleri toplayarak $x+y+z=|x|(|x|-10)+|y|(|y|-10)+|z|(|z|-10)$ olarak yazdım. Sol tarafın en küçük olması için $|x|(|x|-10)$ çarpımı en küçük olmalıdır. $x\lt 0$ için $|x|(|x|-10)=x^2+10x$ fonksiyonunun en küçük değerini $x=-5$ için $-25$ bulunca $(x+y+z)_{min}=-75$ oldu. Ama $|x|-10\lt 0$ olarak düşündüğümde $|x+y+z|\le |x|+|y|+|z|\lt30$ olduğundan $(x+y+z)_{min}=-29$ buluyorum.

Comments

$x=-5\implies (-5)^2-10|-5|=-25\neq y=-5$

---

Denklem sisteminin sonlu sayıda çözümü olduğunu tahmin etmek zor değildir. Denklem sistemini çözüp en küçük toplamı üreten $(x,y,z)$ üçlüsünü belirlemek gerekecektir. Çözümlerden biri $x=y=z=-9$ olup $x+y+z=-27$ elde ediliyor. Bu, en küçük değer olabilir. Bir başka yöntem de $x+y+z \geq -27$ gibi bir eşitsizlik ispat etmek olacaktır (Henüz ispatlamadım ama yöntem olarak denenebilir). Bundan sonrasında da $x+y+z = -27$ olmasını sağlayan bir $(x,y,z)$ üçlüsü örneği vermek gerekir. Böyle bir örneğimiz var.