Question

Toplamı 1976 olan pozitif tamsayıların çarpımı maksimum kaç olur?

(1976 Uluslararası Matematik Olimpiyatlarında ve 1979 Putnam yarışmasında sorulduğu belirtilmiş.)

AÇIKLAMA: Çarpanların sayısı kısıtlanmamış. Güzel bir soru!

Comments

2.615987810513348e+297 buldum ama cok da emin degilimne yalan soyleyem

---

Bu sayı çok küçük :-)

---

Cevap:

1765288130926506313218246975276788636034145073607335321726465347423744720045614476478335515765990

718412681473406846929095619795439690468762472157287422197958752778561435558958067501020550769743837083

6061726696212328461587395195003319638883384389632504528954601901239878437546111665209599529223527333759

0912307103378

---

gercekten de cok kucukmus benim ki

---

$3^{658}\cdot 2$ by induction :)

---

Bu sorunun hoşuma giden bir tarafı da, çözmek için, hiç bir ön bilgiye gerek olmaması.

Answer 1

(1)
Elimizde bir $n$ tam sayı olsun. Eğer $n\ge 4$ ise $$2(n-2)\ge n$$ olacağından çarpımda $3$ten büyük bir $n$ tam sayısı varsa bunu $2$ ve $n-2$ olarak parçalamak gerekir.

Dolayısıyla çarpanların $2$ ve $3$ olması gerekir.

(2)
$2+2+2=3+3$ ve $2^3<3^2$ olduğundan iki taneden fazla $2$ barındıran bir çarpan seçmememiz gerekir.

Bu soru için, maksimize etmek istediğimizde, $$3^{658}\cdot 2$$ değerini elde ederiz.

Comments

Çarpanlar arasında 1 olmaması gerektiği de çok kolay.

---

En büyüğü veren ve en az sayıda sayı olacak derse ve iki tane iki gerekirse bunun yerine dört almak manalı.
Örneğin,toplamı 7 ise 3,2,2 yerine 3,4 seçmek.