Question

$X=[0,\infty)$ kümesi üzerinde tanımlı $d_1(x,y):=|x-y|$ ve $d_2(x,y):=\left|\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+y^2}\right|$ metrikleri düzgün denk midir? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Answer 1

Tanım: $(X,d_1)$ ve $(X,d_2)$ metrik uzaylar olmak üzere

$d_1\overset{D}\sim d_2$

$:\Leftrightarrow$

$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta_1,\delta_2>0)(\forall x,y\in X)[(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\wedge (d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)]$

$--------------------------------------$

$d_1\overset{D}\nsim d_2$

$:\Leftrightarrow$

$(\exists\epsilon>0)(\forall\delta_1,\delta_2>0)(\exists x,y\in X)[(d_1(x,y)<\delta_1\wedge d_2(x,y)\geq\epsilon)\vee (d_2(x,y)<\delta_2\wedge d_1(x,y)\geq\epsilon)]\ldots (\star)$

$--------------------------------------$

 

$\epsilon=\frac{3}{2}$ olmak üzere her $\delta>0$ için $x:=\delta\in [0,\infty)$, $y:=\frac{\delta}{2} \in  [0,\infty)$ alınırsa;

$d_1(x,y):=|x-y|=|\delta-\frac{\delta}{2}|=\frac{\delta}{2}<\delta$ ve

$d_2(x,y):=\left|\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+y^2}\right|=\left|\frac{x^2-y^2}{(1+x^2)(1+y^2)}\right|< \left|\frac{x^2-y^2}{4xy}\right|<\left|\frac{x^2-y^2}{xy}\right|=\left|\frac{\delta^2-\left(\frac{\delta}{2}\right)^2}{\delta \cdot \frac{\delta}{2}}\right|=\frac{3}{2}\geq \frac{3}{2} =\epsilon$

koşulları sağlanır. O halde $(\star)$ önermesi doğru yani $d_1$ ve $d_2$ metrikleri düzgün denk değildir.

 

 

Comments

Her $x,y\in [0,\infty)$ için $$4xy<(1+x^2)(1+y^2)$$ oluyor mu?

---

$x,y\in [0,\infty)$;

$(x-1)^2>0$ ve $(y-1)^2>0$

$x^2+1>2x$ ve $y^2+1>2y$ olduğundan

$4xy<(x^2+1)(y^2+1)$ olur.

---

Eşit olma durumu da var, değil mi?

Her $x,y\in [0,\infty)$ için $(x-1)^2\geq 0$ ve $(y-1)^2\geq 0$ olmalı.

---

Evet hocam gözden kaçırmışım.