Düzgün Denk Metrikler

Question

$$d_1(x,y):=\left |\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right|$$

kuralı ile verilen $$d_1:\mathbb{N}^2\to\mathbb{R}$$

metriği ile

$$d_2(x,y):=\left\{\begin{array}{ccc} 0 & , & x=y \\ 1 & , & x\neq y \end{array}\right.$$

kuralı ile verilen

$$d_2:\mathbb{N}^2\to\mathbb{R}$$ metriğinin düzgün denk olmadığını gösteriniz.

Answer 1

Tanım: $(X,d_1),(X,d_2)$ metrik uzaylar olmak üzere

$$d_1\overset{D}\sim d_2$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta_1,\delta_2>0)(\forall x,y\in X)[(d_1(x,y)<\delta_1\Rightarrow d_2(x,y)<\epsilon)\wedge (d_2(x,y)<\delta_2\Rightarrow d_1(x,y)<\epsilon)]$$

$$--------------------------------------$$

$$d_1\overset{D}\nsim d_2$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\exists\epsilon>0)(\forall\delta_1,\delta_2>0)(\exists x,y\in X)[(d_1(x,y)<\delta_1\wedge d_2(x,y)\geq\epsilon)\vee (d_2(x,y)<\delta_2\wedge d_1(x,y)\geq\epsilon)]\ldots (\star)$$

$$--------------------------------------$$

$\epsilon =1$ olmak üzere $\delta$ sayısı $0$ ile $1$ arasında ne olursa olsun $$x=\left\lfloor\frac{1}{\delta}\right\rfloor\in\mathbb{N}, \,\ y=\left\lfloor\frac{1}{\delta}\right\rfloor+1\in\mathbb{N}$$ alınırsa 

$$d_1(x,y)=\left |\frac{1}{ \left\lfloor\frac{1}{\delta}\right\rfloor}-\frac{1}{ \left\lfloor\frac{1}{\delta}\right\rfloor +1} \right |= \ldots<\delta \wedge d_2(x,y)=1\geq 1=\epsilon$$ yani $(\star)$ önermesi doğru olur. O halde

$$d_1\overset{D}\nsim d_2.$$

Benzer mülahazalar $\delta\geq 1$ durumu için de yapılabilir.

Comments

Bu linki de incelemekte fayda var.