Denklik Bağıntısı

Question

$\beta=\{(x,y)|x,y\in \mathbb{Z}$ ve $x^2+y=x + y^2$} olduğuna göre $\beta$ denklik bağıntısı mıdır?

$\bullet$ $\beta$ bağıntısının yansıyan olduğunu göstermek için $(\forall x \in \mathbb{Z})((x,x)\in\beta )$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

$x \in \mathbb{Z}$ olsun. Amacımız $(x,x) \in \beta $ olduğunu göstermek.

$x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x^2+x=x + x^2 $ olduğundan $(x,x) \in \beta $ dır. $\beta$ yansıyandır.

$\bullet$ $\beta$ bağıntısının simetrik olduğunu göstermek için $(\forall x,y \in \mathbb{Z})((x,y)\in\beta \Rightarrow (y,x)\in\beta  )$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

$x,y \in \mathbb{Z}$ ve $(x,y)\in\beta $ olsun. Amacımız $(y,x) \in \beta $ olduğunu göstermek.

$(x,y)\in\beta \Rightarrow x^2+y=x + y^2$  

$ \Rightarrow y^2 +x = y + x^2 $

$ \Rightarrow (y,x) \in \beta$ dır. O halde $\beta$ simetriktir.

$\bullet$ $\beta$ bağıntısının geçişken olduğunu göstermek için $(\forall x,y,z \in \mathbb{Z})[((x,y)\in\beta$ $\wedge (y,z)\in\beta) \Rightarrow (x,z)\in\beta)  $ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

$x,y,z \in \mathbb{Z}$ , $(x,y)\in\beta $ ve $(y,z)\in\beta $ olsun. Amacımız $(x,z) \in \beta $ olduğunu göstermek.

 $x^2+y=x + y^2$ $(1)$

 $y^2+z=y + z^2$ $(2)$

$(1)$ ve $(2)$ eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa:  $x^2+z=x + z^2$ elde edilir. Buradan $(x,z) \in \beta $ dır. O halde $\beta $ geçişkendir.

Not: Simetrik olduğunu ispatlarken bir adımı atladım gibi geliyor ama bulamadım.

Comments

Hayır atlamamışsın. Yanıtın gayet güzel olmuş.

---

Denklik bağıntısını: $\beta=\{(x,y)|x,y\in \mathbb{Z}\text{ ve }x^2-x=y^2-y\}$ şeklinde yazarsan daha kolay olmaz mı?

---

Tesekkür ederim hocam.

Answer 1

Doğan Hoca'nın yazdığı gibi yazmak soruyu hemen genelleştirmeye de yardımcı oluyor: $A$ ve $B$ iki küme ve $f: A\to B$ bir fonksiyon olsun. Eğer ilişkimizi $x \sim y \iff f(x) = f(y)$ olarak tanımlarsak, $A$ üzerinde bir denklik bağıntısı tanımlamış oluruz. Senin örneğinde $A=B=\mathbb{Z}$ ve $f(n) = n^2-n$. Yukarıdaki genel halin kanıtı da bu özel halle aynı.