Limitin epsilon-delta tanımına alternatif bir tanım önerisi

Question

Bir süredir bu tanım üzerine çalışıyorum. Aynı zamanda diğer limit türleri (x sonsuza giderken ve değer sonsuza giderken) için de tanımlar yazdım. Bu tanımlar kullanışlı olabilir mi? Epsilon delta tanımıyla arasında mantıksal denklik var mı? Varsa veya yoksa bunu nasıl ispatlarım? Tanımları kiminle nasıl paylaşabilirim? Ayrıca burada paylaşamadım çünkü kullandığım sembolleri yazamıyorum ve tabii imkanlarım kısıtlı.

Comments

Sözel olarak (sembolleri yazarak) yazmayı bir dene.

---

Bir tanesini görsel olarak bırakıyorum: 
 

---

Lambda ve omega pozitif reel sayı kabul edilecek. Yazmayı unutmuşum.

---

Benim birkaç sorum var:

 $f$ ile bir fonksiyonu kastettiğinizi varsayıyorum. Bu fonksiyon nereden nereye tanımlı? Yani bu fonksiyonun tanım ve hedef kümeleri nedir? $c_s$ nedir? $c_s$ ile fonksiyonun tanım kümesi arasında bir ilişki var mı? Mutlak değer içerisinde yer alan $c$ nedir? $L$ nedir? Bunlara yanıt verdikten sonra tekrar tartışmaya devam ederiz.

---

f fonksiyonu c noktası hariç c noktasının etrafında tanımlı. Bu tüm reel sayıları (c dışında) kapsayabilir, veya mesela c=1 ise 0 ile 3 arasındaki irrasyonel sayıları kapsayabilir. Hedef kümesi ise reel sayılar kabul edilebilir. Cs ise sadece bir gösterim tanım kümesiyle doğrudan ilişkisi yok. Sol ve sağ limitler için 1 ve 2 sayılarını kullanıyorum. Eğer tek yönlü limit varsa s yerine 1 ya da iki yazılır. Eğer iki yönde de limit varsa sadece s yazılır ki bu da hem biri hem de ikiyi kapsar. x, c değerine yaklaştıkça f(x) in L ye yaklaştığını göstermeye çalıştım. Kısacası c Limitin apsisi, L ise limit değeri.

---

@Paluruta,
Metrik uzay veya topolojik uzay kavramları hakkında bilgin var mı?

---

Daha analizi yeni öğreniyorum, dolayısıyla hayır.

---

@Paluruta, yazmak istediğin bu mu?

$\forall s\in\{1,2\}\ \forall \lambda>0\ \exists\omega>0$ öyle ki  $\omega+|f(c+(-1)^s\omega)-L|<\lambda$

---

$f(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb{Q}\\0 &x\notin\mathbb{Q}\end{cases}$ fonksiyonunu ve $c=0$ (veya herhangi bir rasyonel sayı) alalım.
Bu tanıma göre hem $\lim_{x\to c_s}f(x)=1$ hem de $\lim_{x\to c_s}f(x)=0$ oluyor gibi geldi bana.
(İlkinde $\omega\in\mathbb{Q}$, ikincide $\omega\notin\mathbb{Q}$ seçerek)
Sorun şurada: En az bir $\omega$ koşulu, sadece $f(c+(-1)^s\omega)$ i kısıtlıyor.
Standart (Cauchy-Weierstrass) tanımda, her $0<|x-c|<\delta$ için $f(x)$ i kısıtlıyor.

(Ayrıca, (murad.ozkoc un da belirttiği gibi) $c$ ile tanım kümesi arasında bir koşul olmalı. Ayrıca $\omega+|\cdots-L|<\lambda$ daki $\omega$ nın niçin yazıldığını anlayamadım.)

---

Ben bir sorun göremedim. Limit için önerimiz 1 ise omega değerini rasyonel seçmemiz gerekiyor. Eğer irrasyonel seçersek her lambda için en az bir omega değeri bulamıyoruz. Üzerinde çalıştığımız fonksiyon ise reel sayılarda herhangi bir aralıkta tanımlı. c değeri bu aralıkta olmalı (uç noktalar varsa, uç noktalarda tanımlı olamaz). Ve en önemlisi fonksiyon bu c reel sayısı için tanımlanmış olmak zorunda değil. Son sorunuzun cevabı ise: omega değeri c nin etrafındaki uzunluğu temsil ediyor. Mutlak değer içindeki ifade ise L ve fonksiyonun arasındaki uzunluğu temsil ediyor. Yani hem x ekseninden c ye, hemde y ekseninden L değerine istediğimiz kadar yaklaşıp yaklaşamayacağımızı test ediyoruz. Eğer en az birinden istediğimiz kadar yaklaşamazsak bu zaten limitin olmadığını veya yanlış olduğunu kanıtlıyor. 

---

Evet yazmak istediğim tam olarak oydu

---

Tanımda "Limit için önerimiz 1 ise omega değerini rasyonel seçmemiz gerekiyor" olduğunu belirten bir şey yok.

---

Hem lambda değeri için en az bir omega değeri olduğunu göstermek gerekiyor. Rasyonel olup olmamasının bir önemi yok. Ayrıca üstteki için konuşmak gerekirse, limit önerimiz 1 dışındaki herhangi bir reel sayı olursa zaten her lambda için en az bir omega değeri bulamayız.

---

Evet yok. Aynı şey epsilon delta ispatları için geçerli. Mesela ispatı bitirmek için deltayı epsilon/2 seçmemiz gerekiyorsa tanımda deltayı epsilon bölü iki seçin ifadesi yok. Nereye varmaya çalıştığınızı anlamadım.

---

Bu tanıma göre ($c\in\mathbb{Q}$  ise) $\lim_{x\to c_s}f(x)=0$ olduğunu gösterelim:
Bir $\lambda>0$ sayısı verilsin. $\lambda\in\mathbb{Q}$ ise $\omega=\dfrac{\lambda}{\sqrt2}$, $\lambda\notin\mathbb{Q}$ ise $\omega=\dfrac{\lambda}{2}$ alalım. $\omega\notin\mathbb{Q}$ ve $0<\omega<\lambda$ olur. $c\in\mathbb{Q}$ olduğundan, $\forall s\in\{1,2\}$ için $c+(-1)^s\omega\notin\mathbb{Q}$ olup, $f(c+(-1)^s\omega)=0$ olur. Böylece $\omega+|f(c+(-1)^s\omega)-0|=\omega<\lambda$ koşulu sağlanır.
Öyleyse, bu tanıma göre, $\lim_{x\to c_s}f(x)=0$ olduğunu göstermiş olduk.

Zaten $\lim_{x\to c_s}f(x)=1$ olduğunda hemfikir idik.

Bu da, limitin tek olmadığı bir durum örneği olur ki bunu herhalde istemeyiz.
(Daha berbat durumlar da olabiliyor)

---

Dediğinizi doğru anladıysam aynı değer için iki farklı limit değerinin çıkmasınının sebebi şu: c değerine yaklaşma biçimimiz değişiyor. Birinde irrasyonel, diğerinde rasyonel sayıları kullanarak yaklaşıyoruz. Dolayısıyla bence farklı limit değerleri çıkması sıra dışı değil. Sadece bizim limit olarak bildiğimiz kavramdan daha farklı. Ama yine de bazı düzeltmeler yapılması gerekiyor gibi gözüküyor. Limitler arasındaki farkı ayırt edebilmek için sanırım yaklaşma biçimini de iyi tanımlamak gerekiyor. Ama onun dışında sorun göremedim.

---

"Dolayısıyla bence farklı limit değerleri çıkması sıra dışı değil." ??
Standart limit tanımında böyle bir şey olmaz. 

Bu tanıma göre, her sayının limit olduğu durum bile mümkün!
Böyle bir durumda, limitlerle, anlamlı bir işlem yapabilir miyiz?

---

"Standart limit tanımında böyle bir şey olmaz." katılıyorum. O yüzden bazı değişiklikler yapılabileceğini söyledim. Ama yine de delta epsilon tanımıyla tamamen aynı olması gerekmiyor sanırım. Aksi durumda sanırım zaten aynı şey olurdu. Bunu yapmamdaki amaçlardan bir tanesi süreklilik tanımını genişletmekti. Sürekliliğe yeni bir anlam kazandırmak istemiştim. Her sayının limitli olması ne demek?

---

Bir $f$ fonksiyonu ve bir $c$ sayısı var, öyle ki

her $L\in \mathbb{R}$  için $\lim_{x\to c_s}f(x)=L$ doğru oluyor.

---

@Paluruta,
Bence, bu (senin de belirttiğin gibi), limite yeni bir tanım değil de, başka bir şey tanımlamak düşünebilir
(Her ne kadar analize yeni başlayanlara biraz karmaşık gelse de, limit için yeni bir tanım pek olası/gerekli görünmüyor bana. Çünki bu şeklini, metrik/topolojik uzaylara kolayca genelleştirebiliyoruz).
Bir de, bu şekli ile, sadece bir noktadaki ($c+(-1)^s\omega$ deki) değeri göz önüne alıyor, o da pek yararlı görünmedi bana. (Oradaki $\omega+|\cdots|$ daki $\omega$ niye var anlamadım.)
EK: Topolojik uzaylarda, sürekliliğin bir çok değişik tanımı var.

Örneğin:
Limit, o fonksiyonun ($f$), o sayı ($c$) yakınındaki değerlerinin tümü hakkında (kaba da olsa) bir fikir verir.
Türev, fonksiyonun değişim hızı hakkında bilgi verir.

Yeni tanımın (limitten farklı bir şey olacaksa) amacının ne olduğu hakkında biraz düşünebilirsin.
O kavram neyi ölçecek/hakkında fikir verecek?

---

"Oradaki ω+|⋯| daki ω niye var anlamadım"  Mesela aşağıdaki verilen örnekte eğer w olmasaydı iki yönden limit değeri  olmamasına rağmen daha uzakta fonksiyon L değerini aldığı için L değeri limit olmuş olur ki bunu istemeyiz.

---

Üstte karşılaştığımız sorunu düzeltmeye çalıştım. omega değerinin tanım kümesindeki sadece bazı elemenları kullanarak farklı değere ulaşmasını engellemek için |f(a)-f(b)| değerini ekledim. Eğer L gerçekten limitse onun etrafında alacağımız küçük omage yarıçapındaki x değerlerinin (a ve b) görüntü kümesindeki değerleride çok küçük olmalıdır ve omega değerini küçük seçtikçe omega yarıçapında alacağımız herhangi iki x değerinin birbiri arasındaki uzaklık giderek azalmalıdır. Aksi durumda limit olmaz. Çünkü fonksiyon değeri birden fazla değere yaklaşıyor gibi olur. Umarım gözden kaçırdığım bir şey yoktur.