$\frac1{1+ax}+\frac1{1+bx}-\frac1{1+cx}$ fonksiyonunun yüksek mertebeli türevlerinin sıfır noktasında sıfır değerini almaması

Question

$a,b,c$ sıfır olmayan tam sayılar olmak üzere $$f(x)=\dfrac1{1+ax}+\dfrac1{1+bx}-\dfrac1{1+cx}$$ olarak tanımlayalım. $n\ge 3$ için $f^{(n)}(0)$ değerinin sıfır olamayacağını gösteriniz.

Comments

Soruyu değişik formatlarda sormak istedim ama bunu seçtim:
Maclaurin toplamındaki (en fazla) kaç katsayı sıfır olabilir vs gibi birçok soru sorulabilir.

Answer 1

$$f^{(n)}(x)=(-1)^n\cdot n!\cdot (1+ax)^{-n-1}\cdot a^n+(-1)^n\cdot n!\cdot (1+bx)^{-n-1}\cdot b^n-(-1)^n\cdot n!\cdot (1+cx)^{-n-1}\cdot c^n$$ olduğundan

$$\begin{array}{rcl} f^{(n)}(0) & = & (-1)^n\cdot n!\cdot a^n+(-1)^n\cdot n!\cdot b^n-(-1)^n\cdot n!\cdot c^n \\ \\ & = & (-1)^n\cdot n! \cdot (a^n+b^n-c^n) \end{array}$$ olur. $$f^{(n)}(0)=0$$ olması için $$a^n+b^n-c^n=0$$ yani $$a^n+b^n=c^n$$ olması gerekir. $n\geq 3$ için Fermat'nın son teoremi uyarınca $$a^n+b^n=c^n$$ denkleminin pozitif $a,b,c$ tamsayıları için çözümü yoktur. Benzer mülahazalar $a,b,c$ tamsayılarının negatif olması durumu için de yapılabilir.

Comments

Her bir terimin 0 daki türevleri, Geometrik Seri Toplam Formülü ile de bulunabilir.

---

Cevap olarak yazmak isterseniz...

---

Geometrik seri toplam formülünden, ($a>0$ iken)
$\dfrac1{1+ax}=\dfrac{a}{1-(-ax)}=\sum_{n=0}^\infty(-ax)^n=\sum_{n=0}^\infty(-1)^na^nx^n$ olur.
(Bu kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı $\frac1a>0$ olduğundan) $\dfrac1{1+ax}$ in $0$ da, $n$. türevi $(-1)^na^n n!$ dir.