$3a^2+3a+7=b^3$ denkleminin tüm tamsayı çözümlerini bulunuz.

Question

$3a^2+3a+7=b^3$ eşitliğini sağlayan tüm $(a,b)$ tamsayı ikililerini bulunuz.

Comments

Aklıma gelen ilk yöntem diskriminant oldu:

Eşitliği $a$ ya göre kuadratik olarak düşünürsek tamsayı çözümler için diskriminatın tam kare yani $\Delta =12b^3-75=n^2$ olması gerekiyor. Sol taraf 3 e bölündüğünden n=3k alırsak $4b^3-25=3k^2$ elde ediliyor. Fakat üsttekine benzer bir denklem oluştuğundan pek işe yarar gözükmedi bana.

Başka bir yol olarak denklemi $3a^2+3a+6=b^3-1$ olarak yazıp çarpanlara ayırma kullanılabilir.

Answer 1

($a,b\in\mathbb{Z}$ iken)

$3(a^2+a+2)=b^3-1 \implies 3\mid b^3-1$

$b^3-1=(b-1)(b^2+b+1)$ dir.

$b\equiv0\mod3$ ise $b-1\equiv2\mod3$ ve $b^2+b+1\equiv1\mod3$ olur. ($3$ asal sayı olduğundan) $3\nmid b^3-1$ olur.

$b\equiv2\mod3$ ise $b-1\equiv1\mod3$ ve $b^2+b+1\equiv1\mod3$ olur. ($3$ asal sayı olduğundan) $3\nmid b^3-1$ olur.

olur. Öyleyse $b\equiv1\mod3$ olmalıdır.

$b=3n+1\quad (n\in\mathbb{Z})$ olsun.

$3a^2+3a+7=27n^3+27n^2+9n+1$ olur. Sadeleşme sonunda:
$a^2+a+2=9n^3+9n^2+3n=3(3n^2+3n+1)$ olur.
Buradan $3\mid a^2+a+2$ elde ederiz. Ama :

$a\equiv0\mod3\implies a^2+a+2\equiv2\mod3$
$a\equiv1\mod3\implies a^2+a+2\equiv1\mod3$
$a\equiv2\mod3\implies a^2+a+2\equiv2\mod3$

olduğundan, $3\mid a^2+a+2$ olması imkansızdır.
Bu eşitliği sağlayan tamsayı ikilisi yoktur.

Comments

Hocam şöyle de düşünülebilir sanırım:

$3a^2\cdot 1+3a\cdot 1^2+1^3+6=b^3$

Her iki tarafa $a^3$ ekleyerek $$(a+1)^3+6=b^3+a^3$$ elde olunur. Sonrasında modüler aritmetik kullanmak gerekecek.

---

Ben önce onu denedim. Pek yararı olmuyor. Hangi mod kullanılacağı belli olmuyor.

---

Küp olunca modülo 9 kullanmak işe yaradı:

$x^3\equiv-1,0,1\mod 9$ olduğundan eşitliğin sol tarafı modülo 9 da $5,6,7$ sayılarına, diğer tarafı ise $-1,0,1,2$ sayılarına eşit olduğundan $$(a+1)^3+6=a^3+b^3$$ eşitliğini sağlayan tamsayıların bulunmadığını söyleyebilriz.

---

Evet bu güzel. Mod 9 ile daha kolay oluyormuş.
Benim çözümüm de (iki kez mod 3) mod 9 ile çözüme benziyor.