Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
56 kez görüntülendi
Metin Can Aydemir'in bir sorusu :

$a$ ve $b$ pozitif tamsayılar olmak üzere $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{k}{2024}$$ denkleminin $(a,b)$ için çözümü olmamasını sağlayan en küçük $k$ pozitif tamsayısı nedir?
önce Orta Öğretim Matematik kategorisinde (3.1k puan) tarafından 
önce tarafından yeniden etikenlendirildi | 56 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Çözümde burada kanıtlanan teoremden faydalanalım. Buna göre çözümler $(d_1,d_2)=1$, $d_1|2024$, $d_2|2024$ ve $k|(d_1+d_2)$ olmak üzere $a=\dfrac{2024}{k}\dfrac{d_1+d_2}{d_1}$ ve $b=\dfrac{2024}{k}\dfrac{d_1+d_2}{d_2}$  formunda olmalı.

$k|(d_1+d_2)$ olması gerektiğinden $2024$ sayısının aralarında asal olan $(d_1,d_2)$ pozitif bölenleri:

$(1,2),(1,4),(1,8),(1,11),(1,22),(1,23),(1,44),(1,46),(1,88),
(1,92),(1,184),(1,253),(1,506),(1,1012),(1,2024),
(2,11),(2,23),(2,253),(4,11),(4,23),(4,253),
(8,11),(8,23),(8,253),(11,23),(11,46),(11,92),
(11,184),(22,23),(23,44),(23,88)$

ve bunların  toplamı

$(1,2)→3,(1,22)→23,(1,88)→89,(1,506)→507,(2,11)→13,(4,11)→15,(8,11)→19,(11,23)→34,(11,184)→195,​(1,4)→5,(1,23)→24,(1,92)→93,(1,1012)→1013,(2,23)→25,(4,23)→27,(8,23)→31,(11,46)→57,(22,23)→45,​(1,8)→9,(1,44)→45,(1,184)→185,(1,2024)→2025,(2,253)→255,(4,253)→257,(8,253)→261,(11,92)→103,(23,44)→67,​(1,11)→12,(1,46)→47,(1,253)→254,(23,88)→111​$


olduğundan $k=3,4,5,6$ değerlerini alabileceği görülür. Ancak hiçbir toplam $7$ nin katı olmadığından $k=7$ olamaz.

önce (3.1k puan) tarafından 
20,281 soru
21,819 cevap
73,492 yorum
2,504,170 kullanıcı