İrrasyonel sayılarla, aşkın sayılara ilişkin bir kaç soru.

Question

1)Aşkın sayı neye diyoruz?

2) Bir sayının aşkınlığını test için bir yöntem varmıdır?

3)$e$,$\pi$ aşkın sayılar mıdır?

4)$e^\pi,(\pi)^e$ sayıları irrasyonel mi, yoksa aşkın sayılar mıdır?

5)Her aşkın sayı irrasyonel midir?

6)İrrasyonel sayının irrasyonel kuvveti irrasyonel midir? Yoksa aşkınmıdır?

7) Bu sorularda sorulanlara cevap bulabileceğimiz Türçe bir kaynak var mıdır?

Comments

Cevapları merakla bekliyorum..

---

1) $P(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k =a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n$,     $a_k \in \mathbb Q$  bir polinom olsun. 

 

$\beta \in \mathbb R$ askin sayidir eger  $P(\beta)\neq0  $   $ \forall $  $  P(x)$

---

@Okkes, tanim dogru degil.

---

aşkın sayılar üzerine bakınırken biraz eski ama faydasını görebileceğin bi yazı buldum metok paylaşmak istedim..:)

1998 yılına ait matematik dünyası arşivinden..

---

@sercan neden dogru degil..

---

Ornek olarak: $x^2+1 \in \mathbb Q[x]$ ve $f(5) \neq 0$.

---

duzeltildi..

---

Ökkeş, hiçbir polinomun sıfırı olmaması gerek. 

---

Bu link için çok teşekkür ederim. Siteye sorulu bir çok soruyu da cevaplayan bir pdf. Teşekkürler

Answer 1

Soruyu reel sayilar tarafindan olusan cisim uzerinde soruldugunu varsayaraktan cevapliyorum. 

1) $a \in \mathbb R$ olsun. Eger $a$ hic bir (katsayilari $\mathbb Q$ olan) polinomum koku degilse $a$ sayisina askin diyoruz.

2) Hic bir polinomun koku olmayacagini gostermek basli basina bir yontem. Bunun icin de cesitli yontemler uygulanabilir. Ornegin: $e$ sayisinin neden askin oldugunu ispatlayan bir ispata bakabilirsiniz.

3) Evet askin sayilar. 

4,6) Bu tarz sorular genel olarak zor. irrasyonel mi sorusu bile gayet zor bir soru. ($e^\pi$ sayisinin irrasyonelligi bile isime yaramadigindan pek arastirmadim, lakin) $\sqrt a^{\sqrt a}$ sayilari icin linke tiklayabilirsiniz. Link bu siteden, ispati degil de sadece onermesi var, ispati hakkinda 7 sayfalik makale gormustum.

5) Evet. Cunku rasyonel sayilar  askin olamaz. $q \in \mathbb Q$ ise $x-q$'nun kokudur.

7) Turkce kaynak bilgim yok. Baska dilde de yok.

Comments

Verdiğiniz cevaplar ve gayretleriniz için çok çok teşekkürler sayın hocam.

---

şahsim adına gayet aydınlatıcı bilgiler için teşekkür ederim. günlerdir soruları takip ediyorum ama havada kalıyordu.

benim merak ettiğim bir nokta var.her aşkın sayı irrasyonel tamam ama her irrasyonel sayı aşkın değil dimi? 

çünkü aksi halde $\sqrt{2}$ aşkın olmalıydı ama $x^2-2=0$ polinomunun bir çözümü $\sqrt{2}$ dir.

---

Evet, degil. $\sqrt 2$ irrasyonel fakat askin degil. Ayrica:

Polinom koku ise cebirsel, degilse askin diyoruz.

1) Eger $\mathbb Q$ uzerinde $\mathbb C$'yi dusunursek $i$ cebirsel bir sayi, askin degil. ($i^2+1=0$.)

2) $\mathbb R$ uzerinde $\mathbb R$'yi dusunursek $\pi$ sayisi $x-\pi$'nin koku oldugundan, burda cebirsel.

3) Sorumuz icin de $\sqrt 2$ cebirsel, $e$ ya da $\pi$ degil.

---

teşekkürler..akşam akşam iyi geldi..:)

---

Hiçbir bitişik yazılır.

---

Hicbir yok ki yukarda bitisik yazayim, hic bir vardi..

---

ikinci madde.

---

sanatim anlasilmiyor hic. (ikinci maddedeki hata olmus.)

Answer 2

3) Ilk akla gelen askin sayilar $e$ ve $\pi$ olmakla birlikte ilk kesfedilen (insan yapimi) ve ilk askin sayi oldugu ispatlanan sayi Liouville sabitidir. 

$L=\sum_{n=1}^{\infty}10^{-n!}=0.1100010000000000000000010000...$

Sayinin virgulden sonraki degerleri soyle olusuyor..

$1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120, \dots$ oldugundan, virrgulden sonraki 1. sayi $1$, 2. sayi $1$, 6. sayi $1$, 24. sayi $1$, 120. sayi $1$ ve diger butun sayilar $0$ dir.

Surdan grafige bakilabilir..

http://oeis.org/A012245/graph

Comments

Bu arada  hemen hemen butun sayilar askin sayidir..

---

Neden?      

---

Hemen hemen her ne demek?