Gama fonksiyonu için aşağıdaki eşitlikleri yazabiliriz :
$${\large\Gamma(z)=\frac{1}{z}\prod_{n=1}^\infty\frac{(1+\frac{1}{n})^z}{1+\frac{z}{n}}}$$
$${\large\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)}$$
${\Gamma(z)\Gamma(1-z)}$ ifadedesinin eşitini bulmaya çalışalım.
$${\large\Gamma(z)\Gamma(1-z)=-z\Gamma(z)\Gamma(-z)}$$
Yukarıda verdiğim çarpım sembollü eşitliği burada kullanalım.
$${\large -z\Gamma(z)\Gamma(-z)=(-z)\frac{1}{z}\prod_{n=1}^\infty\frac{(1+\frac{1}{n})^z}{1+\frac{z}{n}}\frac{1}{(-z)}\prod_{n=1}^\infty\frac{(1+\frac{1}{n})^{-z}}{1-\frac{z}{n}} }$$
Sadeleştirelim.
$${\large -z\Gamma(z)\Gamma(-z)=\frac{(-z)}{(-z)z}\prod_{n=1}^\infty\frac{(1+\frac{1}{n})^z(1+\frac{1}{n})^{-z}}{\bigg(1+\frac{z}{n}\bigg)\bigg(1-\frac{z}{n}\bigg)}}$$
$${\large -z\Gamma(z)\Gamma(-z)=\frac{1}{z}\prod_{n=1}^\infty\frac{1}{1-\frac{z^2}{n^2}}}$$
Sinüs için aşağıdaki eşitlik yazılabilir.
$${\large\frac{\sin(\pi z)}{\pi z}=\prod_{n=1}^\infty \bigg(1-\frac{z^2}{n^2}\bigg)}$$
Bu eşitliği kullanalım.Sonucu :
$${\large -z\Gamma(z)\Gamma(-z)=\frac{\pi}{\sin(\pi z)} }$$
$${\large\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin(\pi z)}}$$
olarak buluruz.