${\zeta(s)}$ ifadesinin ilk bir kaç terimini yazalım.
$${\large\zeta(s)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac
{1}{5^s}+\frac{1}{6^s}+...}$$
Şimdi bu eşitliğin her iki tarafını ${\frac{1}{2^s}}$ ile çarpalım.
$${\large\frac{1}{2^s}\zeta(s)=\frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}
{6^s}+\frac{1}{8^s}+\frac{1}{10^s}+\frac{1}{12^s}...}$$
1.ifadeyi , 2.ifadeden çıkartalım.
$${\large\bigg(1-\frac{1}{2^s}\bigg)\zeta(s)=1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}
{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{9^s}+\frac{1}{11^s}...}$$
Bu ifadenin her iki tarafını ${\frac{1}{3^s}}$ ile çarpalım.
$${\large\frac{1}{3^s}\bigg(1-\frac{1}{2^s}\bigg)\zeta(s)=\frac{1}
{3^s}+\frac{1}{9^s}+\frac{1}{15^s}+\frac{1}{21^s}+\frac{1}{27^s}+
\frac{1}{33^s}...}$$
Bu ifadeyide 2.ifadeden çıkaralım.
$${\large\bigg(1-\frac{1}{3^s}\bigg)\bigg(1-\frac{1}{2^s}\bigg)\zeta
(s)=1+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{11^s}+\frac{1}{13^s}+\frac
{1}{17^s}...}$$
Bu yaptıklarımızı ${\frac{1}{5^s},\frac{1}{7^s},\frac{1}{11^s}...}$ için sonsuza kadar bütün asal sayılar için devam ettirelim.
$${\large...\bigg(1-\frac{1}{11^s}\bigg)\bigg(1-\frac{1}
{7^s}\bigg)\bigg(1-\frac{1}{5^s}\bigg)\bigg(1-\frac{1}
{3^s}\bigg)\bigg(1-\frac{1}{2^s}\bigg)\zeta(s)=1}$$
Soldaki çarpımları sağ tarafa geçirelim.
$${\large\zeta(s)=\frac{1}{...\bigg(1-\frac{1}{11^s}\bigg)\bigg(1-
\frac{1}{7^s}\bigg)\bigg(1-\frac{1}{5^s}\bigg)\bigg(1-\frac{1}
{3^s}\bigg)\bigg(1-\frac{1}{2^s}\bigg)}}$$
Paydadaki ifadeyi sonsuz çarpım olarak yazalım.
$${\large\zeta(s)=\prod\limits_{p=asal} \frac{1}{1-p^{-s}}}$$