Uzun uğraşlar sonucu cevabı buldum.
İntegralimiz :
$$\int_0^1\:\frac{\ln(x)}{(1+8x^2)\sqrt{1-x^2}}\:dx$$
İntegerali kısmi türev ile yazabiliriz.
$$\lim\limits_{s\to0}\frac{\partial}{\partial{s}}\int_0^1\:\frac{x^s}{(1+8x^2)\sqrt{1-x^2}}\:dx$$
$u=1-x^2$ olacak şekilde değişken değiştirelim.
$$\lim\limits_{s\to0}\frac{\partial}{\partial{s}}\frac{1}{2}\int_0^1\:u^{-\frac{1}{2}}\:(1-u)^{\frac{s}{2}-\frac{1}{2}}(9-8u)^{-1}\:du$$
$(9-8u)^{-1}$ ifadesini sonsuz toplam ile yazalım.
$$\lim\limits_{s\to0}\frac{\partial}{\partial{s}}\frac{1}{18}\sum_{k=0}^\infty\:\Big(\frac{8}{9}\Big)^k\int_0^1\:u^{k-\frac{1}{2}}\:(1-u)^{\frac{s}{2}-\frac{1}{2}}\:du$$
İntegrali beta ve gama fonksiyonu ile yazabiliriz.
$$\lim\limits_{s\to0}\frac{\partial}{\partial{s}}\frac{1}{18}\sum_{k=0}^\infty\:\Big(\frac{8}{9}\Big)^k\:B\Big(k+\frac{1}{2},\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\Big)$$
$$\lim\limits_{s\to0}\frac{\partial}{\partial{s}}\frac{1}{18}\sum_{k=0}^\infty\:\Big(\frac{8}{9}\Big)^k\:\frac{\Gamma(k+\frac{1}{2})\Gamma(\frac{s}{2}+\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{s}{2}+k+1)}$$
Türevi alalım ve $s$ yerine $0$ verelim.
$$\frac{\sqrt{\pi}}{36}\sum_{k=0}^\infty\:\Big(\frac{8}{9}\Big)^k\:\Gamma\Big(k+\frac{1}{2}\Big)\Bigg[\frac{\psi(\frac{1}{2})-\psi(k+1)}{\Gamma(k+1)}\Bigg]$$
Toplam sembollü ifade $-12\sqrt{\pi}\ln(2)$ ' ye eşit.(Ayrıca soru olarak soruyorum)
$$\large\color{#A00000}{\boxed{\int_0^1\:\frac{\ln(x)}{(1+8x^2)\sqrt{1-x^2}}\:dx=-\frac{\pi\ln(2)}{3}\approx-0.725862}}$$