Sanırım yeni bir eşitlik buldum : $\lim\limits_{s\to0}\partial_s^{2n}\,\sec(s)=(-1)^nE_{2n}$

Question

$E_n$ n. Euler sayısı olmak üzere :

$$\lim\limits_{s\to0}\partial_s^{2n}\,\sec(s)=(-1)^nE_{2n}$$

Yukarıdaki eşitliği tesadüfen buldum.$n\in\mathbb{N}$ olmak üzere doğru sonuçlar veriyor.İnternette araştırdığım kadarıyla böyle bir eşitlik görmedim.Belki vardır ama ben görememişimdir.Euler sayılarının hesaplanmasında alternatif olarak kullanılabilir.

Eşitliği ispatlamak isteyen ispatlayabilir.Eğer cevap gelmez ise ben ispatlarım.(Biraz dolaylı yoldan ispat yaptım)

Comments

$\sec\mbox h$ değil değil mi? 

---

Değil hocam $\sec(s)$ .

---

Şu makaledeki tanımdan direkt çıkmıyor mu bu özdeşlik:

http://www.mathstat.dal.ca/FQ/Scanned/36-2/zhang.pdf

Bilmiyorum, ama, üreteç olmak bu demek değil mi zaten?

---

Evet hocam direkt çıkıyor.Bu tanımı daha önce görmemişim.Teşekkürler :) 

---

Rica ederim. :)

---

Tam buldum sanıyorsun bir teori pofff :) adamlar birşey bırakmamıs ki bıraktıklarıda çözülemiyor .

---

Aynen hocam :) Yeni bir şey bulmak çok zor.

---

Bulunur inş. bizim milletimiz, bilim insanlarımız zeki  tek eksik gizli bilim yok, her makinenin bir matematiği varmıs ve bunları bilen bilim insanları var illaki bunları geliştirmek lazım bir teknolojik üretime geçmek lazım  

---

Yeni birşey bulmak için aramamak lâzım, âdetâ aramayı unutmak lâzım! Yaptığın işte yok olman lâzım. Avcı gibi bilim yapılmaz.

@ali tas, ne demek istediğini tam anlayamadım? Gizli bilim ne? Makinenin matematiği ne demek?

Kolay olan teknoloji! Prensipler, temel fikirler olduktan sonra cihazı herkes yapar. 

---

Zaten aramakla bulunmaz ancak bulanlarda arayanlardir ,arayanlardır ama sırf buluş arayan değil çalışan  Sizin dediğiniz gibi sadece bulmak amaç olsa bulunmaz , Mesela bizim bilim insanlarimiz her bulduğu bir makaleyi veya bir önemli çalışmayı yayınlıyor belki o bulunanlar bir teknolojide işe yarar ama bedava yayın nede olsa , her teknoloji bir matematik içer miyor mu ,işte o kullanılan her  matematiğe makine matematiği dedim. Bence  o kadar kolay gözükmüyor teknoloji üretimi belkide şartlar müsait değil 

---

Eyvallah diyorum :D

---

                      :D

Answer 1

Euler sayılarının (verilen bağlantıdaki gibi)

$\frac1{\cosh x}=\frac2{e^x+e^{-x}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{E_n}{n!}x^n$ olarak tanımlı olduğunu kabul ediyorum.

Ayrıca bertan88 in kullandığı $\partial_s^{2n}$ simgesinin $s$ değişkenine göre $2n$ nci basamaktan türev anlamına geldiğini varsayıyorum. Fonksiyonlar (bazı noktalar dışında analitik olduğundan) türevler de sürekli olup limit fonksiyonun değeri ile aynıdır.

 

$\frac1{\cosh x}$ (Karmaşık değişkenli) fonksiyonu çift fonksiyondur, bu nedenle $n$ tek iken $E_n=0$ olur.

O zaman $\frac1{\cosh x} =\sum_{n=0}^\infty\frac{E_{2n}}{(2n)!}x^{2n}$ yazabiliriz.

$$\sec x=\frac2{e^{ix}+e^{-ix}}=\frac1{\cosh (ix)}=\sum_{n=0}^\infty\frac{E_{2n}}{(2n)!}(ix)^{2n}=\sum_{n=0}^\infty\frac{E_{2n}}{(2n)!}i^{2n}x^{2n}$$

olur.

 Kuvvet Serilerinin türev-katsayı ilişkisinden ($a_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$)

 \[\left. \frac{d^{2n}(\sec x)}{dx^{2n}}\right| _{x=0}=\sec^{(2n)}(0)=i^{2n}E_{2n}=(-1)^nE_{2n}\] bulunur.

Edit:"Fonkisyonlar->Fonksiyonlar"