Öncelikle şu eşitlikleri yazalım :
$${\large\psi(x)=\dfrac{d}{dx}\ln(\Gamma(x))=\dfrac{\Gamma^{'}(x)}{\Gamma(x)}}$$
$${\large\psi(x)\Gamma(x)=\Gamma^{'}(x)}$$
$${\large\psi_1(x)=\dfrac{d}{dx}\psi(x)=\dfrac{d^2}{dx^2}\ln(\Gamma(x))}$$
$${\large B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}}$$
Şimdi kısmi türevleri bulalım.Önce ${x}$'e göre kısmi türevi bulalım.${\Gamma(y)}$'yi burada sabit bir sayı olarak kabul edebiliriz.Pay ve paydada x'li bir fonksiyon olduğundan bölümün türevini alabiliriz.
$${\large\dfrac{\partial}{\partial x}B(x,y)=\Gamma(y)\dfrac{\Gamma^{'}(x)\Gamma(x+y)-\Gamma^{'}(x+y)\Gamma(x+y)}{\Gamma^2(x+y)}}$$
Şimdi en başta verdiğimiz eşitliklere göre ; ${\Gamma^{'}(x)}$ yerine ${\psi(x)\Gamma(x)}$ , ${\Gamma^{'}(x+y)}$ yerinede ${\psi(x+y)\Gamma(x+y)}$ yazalım.
$${\large\dfrac{\partial}{\partial x}B(x,y)=\Gamma(y)\dfrac{\psi(x)\Gamma(x)\Gamma(x+y)-\psi(x+y)\Gamma(x+y)\Gamma(x)}{\Gamma^2(x+y)}}$$
Pay kısmını ortak paranteze alalım.
$${\large\dfrac{\partial}{\partial x}B(x,y)=\Gamma(y)\dfrac{\Gamma(x+y)\Gamma(x)(\psi(x)-\psi(x+y))}{\Gamma^2(x+y)}}$$
Sadeleştirmeleri yapalım.
$${\large\dfrac{\partial}{\partial x}B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}(\psi(x)-\psi(x+y))}$$
${\dfrac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}}$ yerine${B(x,y)}$ yazalım.
$${\large\dfrac{\partial}{\partial x}B(x,y)=B(x,y)(\psi(x)-\psi(x+y))}$$
Olarak buluruz.Aynı şekilde kısmi türevi sadece ${y}$ içinde alsaydık bunu bulurduk :
$${\large\dfrac{\partial}{\partial y}B(x,y)=B(x,y)(\psi(y)-\psi(x+y))}$$
Şimdi ${x}$'e göre aldığımız kısmi türevin ${y}$'ye göre kısmi türevinide alalım.
$${\large\dfrac{\partial}{\partial x}\dfrac{\partial}{\partial y}B(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}B(x,y)(\psi(x)-\psi(x+y))}$$
Sağ taraftaki kısmi türevi , türevin çarpım kuralı ile yazalım.
$${\large\dfrac{\partial}{\partial x}\dfrac{\partial}{\partial y}B(x,y)=(\psi(x)-\psi(x+y))\dfrac{\partial}{\partial y}B(x,y)+B(x,y)\dfrac{\partial}{\partial y}(\psi(x)-\psi(x+y))}$$
${\dfrac{\partial}{\partial y}B(x,y)}$ ifadesini eşitini yukarıda yazmıştık , yerine yazalım.
$${\large\dfrac{\partial}{\partial x}\dfrac{\partial}{\partial y}B(x,y)=}$$
$${\large B(x,y)(\psi(x)-\psi(x+y))(\psi(y)-\psi(x+y))+B(x,y)\dfrac{\partial}{\partial y}(\psi(x)-\psi(x+y))}$$
${B(x,y)}$ parantezine alalım.
$${\large\dfrac{\partial}{\partial x}\dfrac{\partial}{\partial y}B(x,y)=}$$
$${\large B(x,y)\huge(\large(\psi(x)-\psi(x+y))(\psi(y)-\psi(x+y))+\dfrac{\partial}{\partial y}(\psi(x)-\psi(x+y))\huge)}$$
Parantezin içinde en sağ taraftaki kısmi türevi bulalım.Türev ${y}$'ye göre olduğundan ${\psi(x)}$ ifadesini atabiliriz.${\psi(x+y)}$ ifadesinin kısmi türevinide yukarıda verdiğim trigama fonksiyonu ile ${\psi_1(x+y)}$ olarak yazabiliriz ve sonucu :
$${\large\dfrac{\partial}{\partial x}\dfrac{\partial}{\partial y}B(x,y)=B(x,y)\huge(\large(\psi(x)-\psi(x+y))(\psi(y)-\psi(x+y))-\psi_1(x+y)\huge)}$$
olarak buluruz.