Göreceliliksel kuantum mekaniğinde $m$ kütleli $1/2$-spine sahip serbest parçacıkların hareketini betimleyen Dirac işlemcisini (temsil değişikliği yaparak) tanımlamak istiyoruz. Bu çerçevede, ilgili Hilbert uzayımız $\mathcal{H}:=L^{2}(\mathbb{R}^{3}:\mathbb{C}^{4})\cong L^{2}(\mathbb{R}^{3})\otimes \mathbb{C}^{4}$ ve bir parçacığın (özdeğer olarak, yani $p\in \mathbb{R}^{3}$) devinimine bağlı enerji fonksiyonu $E(p):=\sqrt{p^{2}+m^{2}c^{2}}$'dir. İlgili enerji işlemcisi, $\text{böl}(E):=\{\psi\in L^{2}(\mathbb{R}^{3})\vert \int\vert p\vert^{2}\vert\psi(p)\vert^{2}dp<\infty$ olmak üzere şöyledir: $E:\text{böl}(E)\subset \mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H},\psi\rightarrow (E\psi)(p)=E(p)\psi(p)$.
Tanım: Pauli matrisleri $\sigma_1:=\begin{pmatrix}
0&1\\ 1&0\end{pmatrix}$, $\sigma_2:=\begin{pmatrix}
0&-i\\ i&0\end{pmatrix}$, $\sigma_3:=\begin{pmatrix}
1&0\\ 0&-1\end{pmatrix}$. Dirac matrisleri $\forall\nu\in\{1,2,3\}:\alpha_\nu:=\begin{pmatrix}
0&\sigma_\nu\\ \sigma_\nu&0\end{pmatrix}$ ve $\beta:=\begin{pmatrix}
1&0\\ 0&-1\end{pmatrix}$'dır. Ayrıca $\vec{\alpha}:=\begin{pmatrix}
\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3
\end{pmatrix}^{T}$.
Tanım: Foldy-Wouthuysen dönüşümü $U_{FW}: \mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H},\psi\rightarrow :=U_{FW}(p)\psi(p)$ işlemcisi aracılığıyla tanımlanır. Burada $U_{FW}$ $\psi$ durumun yine (özdeğer) devinimine bağlı $U_{FW}=\frac{\frac{E(p)+mc^{2}}{\sqrt{2E(p)}}+c\beta \vec{\alpha}\vec{p}+E(p)}{\sqrt{2 E(p)(E(p)+mc^{2})}}$ fonksiyonudur.
Soru 1: Dönüşümün neden üniter olmasına ihtiyacımız var? Öyle olduğunu gösterebilir misiniz? İpucu: $\{\alpha_\nu,\alpha_\mu\}=2\delta_{\nu\mu}$, $\{\alpha_\nu,\beta\}=0$ .
Soru 2: $\hat{D}_0:=U^{*}_{FW}(p)\begin{pmatrix}
E(p)&0\\0&-E(p)
\end{pmatrix}U_{FW}(p)$'yi $\vec{\alpha}$ ve $\beta$ cinsinden yazabilirmisiniz? $\hat{D}_0$ özeşlenik midir?
(İç çarpım $\langle \psi,\psi\rangle:=\displaystyle\sum_{\nu=1}^{4}\langle\psi_\nu,\psi_\nu\rangle_{L^{2}(\mathbb{R}^{3})}$ $=\int dp \langle\psi(p),\psi(p)\rangle_{\mathbb{C}^{4}}$)
Tanım: Schwartz uzayı $\alpha,\beta\in\mathbb{N}_0^{n}:\Vert\psi\Vert_{\alpha,\beta}$ normu ile $\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n}):=\{\psi\in C^{\infty}(\mathbb{R}^{n})\vert \forall\alpha,\beta\in \mathbb{N}_0^{n}:\Vert\psi\Vert_{\alpha,\beta}<\infty\}$ ise, Fourier dönüşümü $\mathcal{F}:\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})\rightarrow\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n}),\psi\mapsto \mathcal{F}\psi:=\hat{\psi}:=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int e^{-\frac{ixp}{\hbar}}\psi d^{n}x$'dir.
Soru 3: Ama bizim durumların $\mathcal{S}$'de değil de $\mathcal{H}$'de olması bir sorun teşkil etmiyor mu?
Tanım: Dirac işlemcisi $\text{böl}(D_0):=H^{1}(\mathbb{R}^{3}:\mathbb{C}^{4})$ ile $D_0:\text{böl}(D_0)\rightarrow\mathcal{H},\psi\mapsto \mathcal{F}\hat{D}_0\mathcal{F}^{-1}\psi$ olarak tanımlanır.
Soru 4: Neden şimdi de işlemcinin bölgesini Sobolev kümesi olarak tanımlayıverdik?
Soru 5: $D_0$'nin $\tilde{D}:=\displaystyle_\nu\alpha_\nu\frac{c}{i}\partial_\nu+\beta mc^{2}$ işlemcisinin özeşlenik uzantısı olduğunu gösterebilirmisiniz?
Soru 6: $D_0$'ın izgesi $\sigma_{D_0}$ nedir?
Soru 7: Dirac denklemini $D_0\psi=0$ çözebilirmisiniz?
Not: Soru 2'de negatif enerjili parçalarında varolduğunu varsaymış olduk (=Dirac denkleminden çıkan bir sonuç). Aslında olayların bir doğrusal izleyişi (tek değil) kuantum mekaniksel döndürme grubu $SU(2)$ yerine daha geniş $SL(2,\mathbb{C})$'yi seçerek (bundan uygun Lorentz dönüşümleri grubu $SO^{+}(3,1)$'ye topolojik denklik olduğu için) bütün kuramı görecelilikle geçimli hale getirip ortaya çıkan $p^{\alpha\dot{\beta}}\tilde{v}_{\dot{\beta}}(p)=mcu^{\alpha}(p)$ ve $p_{\dot{\alpha}\beta}u^{\beta}(p)=mc\tilde{v}_{\dot{\alpha}}(p)$ spinor denklemlerini çözerek Dirac denklemini bulmak. Tarihsel izleyişi ise bambaşka.