Question

$$\lim\limits_{\omega\to\infty}\:\int_0^\infty\,\frac{1}{\sqrt{1+x^\omega}}\:dx$$

Limitini hesaplayınız.

Comments

Bu cevaptaki ifadeye $n=0, p=2$ koyarsak $$\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{1+x^w}}=\frac{1}{w\Gamma(\frac12)}\Gamma(\frac1w)\Gamma(\frac12-\frac1w)$$ esitligini elde ederiz. Limiti de $0$ yapiyor. 

Not: limitin sifir yapmasi degerlerin sifir oldugu anlamina gelmez, en nihayetinde integraller pozitif degerler aliyor.

Not 2: Linkteki cevabin dogru olmasi durumundaki cevap budur.

---

Ben cevabı $1$ olarak buldum.Sanırım $\Gamma(\frac{1}{\omega})$ ifadesini atladınız.Bilmiyorum belki de ben yanlış yapmışımdır , burda hoca olan sizsiniz :) 

---

hoca? ben senin yazdiklarina bakarak ogreniyorum bunlari az cok. Asagidaki $w$'dan dolayi $0$, geri kalani (total olarak) $1$'e gidiyor.

---

$\displaystyle\lim_{\omega\to0}\int_0^1\frac1{\sqrt{1+x^w}}dx=1$ ve $\displaystyle\lim_{\omega\to\infty}\int_1^\infty\frac1{\sqrt{1+x^w}}dx=0$ olduğunu göstermek zor olmamalı.

---

Bu esitliklerin saglanmasi durumunda ya linkteki cevapta ya da benim buraya uygulamamda bir hata var. 

---

$\lim\limits_{w\to\infty}\frac{\Gamma(\frac{1}{\omega})}{\omega}=1$ olduğuna göre (Wolfram-Alpha'dan aldım , ispatını bilmiyorum , ayrıca sorulabilir) yukarıdaki $\frac{1}{w\Gamma(\frac12)}\Gamma(\frac1w)\Gamma(\frac12-\frac1w)$ ifadesinin limitinin $1$ olduğu bulunur.

Ben böyle yaptım.

---

Haklisin. Ben $\Gamma(0)$'i $1$'mis gibi dusundum.

---

Gamalı ifadenin limitini buldum :

$$\lim\limits_{\omega\to\infty} \frac{1}{\omega}\Gamma(\frac{1}{\omega})=\lim\limits_{\omega\to\infty} \Gamma(\frac{1}{\omega}+1)=\Gamma(1)=0!=1$$

---

Ben L' hopital dusunmustum de, bu daha hosmus.

Answer 1

Yorumlar isiginda cevabi tekrar yaziyorum:
Bu cevaptaki ifadeye $n=0, p=2$ koyarsak $$\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{1+x^w}}=\frac{1}{w\Gamma(\frac12)}\Gamma(\frac1w)\Gamma(\frac12-\frac1w)$$ esitligini elde ederiz. Limiti de $1$ yapiyor. 

Not: Linkteki cevabin dogru olmasi durumundaki cevap budur.