$\displaystyle \lim _{n \to \infty} \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)...\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]^\frac{1}{n}$ limitini hesaplayınız.

Question

Öncelikle terimler arasındaki farkın $1/n$ olduğunu göz önünde bulundurdum. Ardından $A.O\geq G.O$ ifadesindeki eşitliğin sağlanması için tüm terimlerin eşit olması gerektiğini düşündüm. Terimler arasındaki fark da $\displaystyle \lim_{n\to\infty} 1/n=0$ olacağından $A.O=G.O$ olarak düşünebiliriz diye düşündüm. Bu durumda $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{\displaystyle \sum^n_{i=1}\left(1+\frac{i}{n}\right)}{n}=\frac{3}{2}$ olduğunu bulmak zor değil. Lakin cevap $4/e$ imiş.

Comments

Cevap 1 mi ?

---

Cevap $4/e$. Cevabınızı düzenle butonuna basıp aşağıda çıkan "Bu cevabı yoruma dönüştür" seçeneğini işaretleyebilir misiniz rica etsem? Böylece soru cevapsızlarda görünür ve diğer hocalarımız soruyu daha rahat görebilir.

---

$x$ degil de $n$ olacak galiba.

---

Bilemeyiz, belki de siz yanlış görmüşsünüzdür. Bir daha bakın :)

---

$n$ tane $1/n$ topla $1$ eder, limit al $1$ eder. Fakat teker teker limit alirsan $n \cdot 0=0$ eder. Fakat limitlerin toplami degil, toplamin limiti soruluyor. Bu da bu esitligin her zaman saglanmadigini gosterir.

Answer 1

ilk olarak $\ln$ alip carpimi Riemann toplamina cevirirsek elde edecegimiz limit degeri $$\int_0^1\ln(1+x)dx=\ln4 -1$$ olur. Bu da istedigin cevabi verir. 

_____
Ekleme:

Ic ifadenin $\ln$'inin alinca $$\frac1n\sum\limits_{i=1}^n\ln\left(1+\frac in\right)$$ ve bu ifade bize $\ln (x+1)$ fonksiyonunun $[0,1]$ araligi uzerinde $x_i=1+\frac in$ noktalarindan gelen $P_n$ parcalanisin ust toplam degerini verecek ve limitini aldigimizda $\lim U(f,P_n)$ degerini (varsa) elde edecegiz. Fakat bu fonksiyon verilen aralikta surekli oldugundan Riemann integrallenebilir. Ayrica fonksiyon bu aralikta monoton oldugundan bu parcalanis dizisi icin (cok cok cok basit bir sekilde gosterilebilir) $\lim (U(f,P_n)-L(f,P_n))=0$ elde ederiz. Bu da bize integral degerinin yani $U(f)$ degerinin $\lim U(f,P_n)$ degerine esit oldugunu verir. Bu da yukaridaki integral degerine esit.

Fakat bu dedigim kisimlar genelde atlaniyor, orasi ayri...

Comments

daha açık bir şekide çözer misiniz?

---

Aciktan kasit nedir? Yani neresini acmami istiyorsunuz. Riemann toplami ile integrailn iliskisi bilince (ki Riemann integrali aslinda Riemann toplami ile baslar, tanimi da boyledir) bu cok acik bir cevap oluyor.

---

sağolun çok incesiniz:)

---

Tesekkur ederim, umarim gercek manada ince oldugumu soylemissindir, imalari cok anlamiyorum. Ikinci cumle aciklamaydi.

Genel olarak gercekten daha acik kismini pek anlamiyorum. Cunku karsi tarafin nerede takildigini kestirmek zor. Bu nedenle ilk sorumu sordum. Acmam gereken yer neresi. Mesela iki sayfa yazi yazsam, su soyle bu boyle diye, kalkip karsi taraf dese ben bu kismi biliyorum, su kismi acsaydin, cok uzucu olur, o kadar aciklama vs, yazana da yazik, okuyana da...

---

ciddi manada incesiniz dedim yardimsever manasında . tabi sizde haklisiniz bende siniir oluyorum bazen birisi bana bildigim yerleri bilmiyormusum gibi explain edince. (riemann kısmı  )donusturdugunuz kismi yazarsanız cok memnun olurum.

---

Riemann toplamini biliyor musun peki? Integral ile iliskisini?

---

tabiki biliyorum

---

Ekleme yaptim.