Question

$p\neq 2$ asalı ve $a,b$ tam sayıları için, $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{p-1}=\frac{a}{b}$ ise $p\mid a$. Eğer $p>3$ ise o zaman $p^2\mid a$.

Comments

bu soruyu p-adic sayilardan $p|a$ oldugu gosteriliyor da, ilerde deneyecem bunu, $p^2$ icinde. Aklimda soru.

---

Bunlari mod p'de dusunursek hepsi 1 ile p-1 arasindaki sayialra tekabul eder; yani toplamlari mod p'de 0 olur.  p-adic icin mesela $1/(1-p)=1+p+p^2\cdots=(1,1,1,\cdots)$ olarak yazabilirsin. Buradaki $a/b$ kesirini bu sekilde yazip ilk ikisinin sifir oldugunu gostermeye calisabiliriz. 

Answer 1

$\dfrac {a} {b} = \dfrac {1} {1}+ \dfrac {1} {2} + ... + \dfrac {1} {p-1}$ toplamını $(\dfrac {1} {1}+\dfrac {1} {p-1}) +  (\dfrac {1} {2}+\dfrac {1} {p-2}) + .... + (\dfrac {1} {\dfrac {p-1} {2}}+\dfrac {1} {\dfrac {p-1} {2}})$

şeklinde yazabiliriz.  Bu ifadeyi toplam sembolü ile $\sum_{k=1}^{\dfrac {p-1} {2}}  \dfrac {p} {(p-k).k}$ olarak yazabiliriz. Bu durumda toplamın paydası $p$ ile aralarında asal olacağından $p|a$ diyebiliriz.

Şimdi $\sum_{k=1}^{\dfrac {p-1} {2}}  \dfrac {1} {(p-k).k}$ toplamını inceleyelim. $(p-k).k \equiv -k^2 (mod p)$ olacaktır. Ayrıca $p$ asal olduğundan $\dfrac {1} {1^2},\dfrac {1} {2^2},...,\dfrac {1} {\dfrac {(p-1)^2} {4}}   $ sayı kümesi $1^2,2^2,...,\dfrac {(p-1)^2} {4}$  sayı kümesine denktir.

 $\sum_{k=1}^{\dfrac {p-1} {2}} = \dfrac {1} {(p-k).k} \equiv -\sum_{k=1}^{\dfrac {p-1} {2}}  \dfrac {1} {k^2} \equiv -\dfrac {(\dfrac {p-1} {2})(\dfrac {p-1} {2}+1)(2(\dfrac {p-1} {2})+1)} {6} \equiv 0  (mod p)$

ve sonuç olarak $p>3$ için  $p^2|a$

Answer 2

$1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{p-1}=\frac{\hat{1}\cdot2\cdot3\cdots(p-1)+1\cdot\hat{2}\cdot3\cdots(p-1)+\cdots+1\cdot2\cdot3\cdots(p-2)\widehat{(p-1)}}{(p-1)!}$ (şapka : o çarpan yok anlamında)

Wilson un teoreminden $(p-1)!\equiv-1\ \mod p$ Buradan:

$1\cdot2\cdots\hat{k}\cdots(p-1)\equiv-k^{-1} \mod p$ olur. ($p$ tek olduğundan)

 $-1^{-1}-2^{-1}-\cdots-(p-1)^{-1} \equiv -(1+2+3\cdots+(p-1))\equiv 0\mod p $

$p\mid a(p-1)!$ olur. $p\nmid(p-1)!$ olduğundan $p\mid a$.

Comments

$p^2|a$? Ben goremedim onu.. Sadece $p$ icin yukardaki toplam: $1^{-1}+\cdots+(p-1)^{-1} \equiv1+\cdots+(p-1) \equiv 0$

---

$p^2\mid a$ yı gösteremedim.

---

Tamam hocam. Cunku bu soruyu merak etmiyor degilim. Aradan cikiyorsa diye ogrenmek icin sormustum. Tesekkurler.