$\mathbb{Z}[S_n]$ grup halkasının merkezi nedir?

Question

$\mathbb{Z}[S_n]$, $\mathbb{Z}$ üzerine $S_n$ elemanlarıyla serbest biçimle üretilen $\mathbb{Z}$ modülünün üzerine gruptan gelen çarpmanın konulmasıyla elde edilen halka. Yani, baz elemanlarının çarpımı grubun çarpımı, genel iki elemanı çarpmak için de bu çarpmayı lineer olarak genişletiyoruz.

Comments

Halkanin merkezinin ne oldugunu bilmiyorum ama bu halka icin sanki tanimi grubunkine benzer gibi geldi.

Simdi $S_n$'in merkezi n=2 haric birim eleman oldugundan ve $a_1g_1a_2g_2=a_1a_2g_1g_2 $ oldugundan ($a_1,a_2 \in \mathbb{Z}$ ve $g_1, g_2 \in S_n$), merkez tamamen $S_n$'e bagli. O zaman soyle diyebilirim kafamdaki tanima gore:

$n \neq 2$ ise $\mathbb{Z}[e]$ ve $n=2$ ise $\mathbb{Z}[S_2]$.

---

Bu yanıt yanlış.

---

yani $n=2$ için doğru da, $n>2$ için yanlış.

---

hepsi icin mi :)

Halkanin merkezi ne oluyor?

Answer 1

Ne olması gerektiğine dair iddiayı bulmak için bir iki şey yazayım. İddianın ispatını yapmayacağım, çok kolay zira. $n>2$

İlk gözlem: Bir $x=\sum_{\substack{\sigma\in S_n}}n_{\sigma}\cdot\sigma$ elemanın merkezde olması için baz elemanlarıyla değişme özelliğine sahip olması yeterli.

İkinci gözlem: $S_n$ merkezsiz bir grup olduğu için $\mathbb{Z}[S_n]$'in doğal bazındaki elemanlardan hiçbirisi merkesin bir parçası olamaz, $1$'e eşit değilse tabi.

O halde bazın iki elemanını alıp toplayalım: $\sigma,\tau\in S_n$ için $\sigma+\tau\in\mathbb{Z}[S_n]$ elemanının merkezde olabilmesi için gereken şartı inceleyelim. Her $\beta\in S_n$ için ilk gözlem gereği $$\beta(\alpha+\tau)\beta^{-1})=\beta\alpha\beta^{-1}+\beta\tau\beta^{-1}=\alpha+\tau$$ olmalı. $S_n$'in merkezi olmadığı için en azından bir $\beta\in S_n$ için $$\beta\alpha\beta^{-1}\neq\alpha$$ doğru. Bir öndeki eşitlik gereği (ve tabii ki baz olmakla ilgili benim açıklamayı gençlere bıraktığım minicik bir açıklama nedeniyle) bu $\beta$ $$\beta\alpha\beta^{-1}=\tau$$ eşitliğini sağlar.

Üçüncü gözlem: $\alpha+\tau$ merkezdeyse $\alpha$ ile $\tau$ birbirine eşlenik olmalı.

Son gözlemi yaparken yaptığımız çalışma aslında bize şunu da söylüyor. Ya $\alpha$'nın $\tau$'dan başka bir eşleniği varsa, o zaman ne olur? Diyelim ki $\eta\alpha\eta^{-1}\neq \tau$ olsun (tabii ki $\neq \alpha$ da olsun, yani $\eta\neq id$). Bu durumda yukarıdaki gözlem gereği $$\alpha+\tau$$ merkezde olamaz çünkü bu elemanın $\eta$ ile eşliği $$y=\eta(\alpha+\tau)\eta^{-1}$$ elemanının baz açılımında $\alpha$ ve $\tau$'dan başka bir eleman ($\eta\alpha\eta^{-1}$) var, yani $$y\neq\alpha+\beta.$$

Bu demek oluyor ki, $x$ merkezin bir elemanıysa $x$'in baza göre açılımında gözüken bir baz elemaninin butun eşlenikleri de $x$'in baz açılımında gözükmeli. Artık neyi iddia edebileceğimiz açık:

İddia: $E_1,\cdots,E_k\subseteq S_n$ farklı eşlenik sınıfları olsun. Her $i=1,2,\cdots,k$ için $$\theta_i:=\sum_{\sigma\in E_i}\sigma$$ merkezin bir elemanıdır ve $$\{\theta_1,\cdots,\theta_k\}$$ merkezin bir bazıdır.