Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
1.2k kez görüntülendi

$[0,1]x[0,1]$ nin belirttiği bölgeden  alınan  nokta $A(x,y)$ ise  seçilen noktanın kordinatları toplamının 1den küçük olma olasılığı ?

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (1.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.2k kez görüntülendi

\times : $\times$

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Burda integral kullanabiliriz. Diger bir degisle alan. 
Toplam alan $1$ ve istenilen alan $\frac12$.

(25.5k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

$[0,1]\times [0,1]$ karesi içinde olup $x+y< 1$ koşulunu sağlayan ikililerin oluşturduğu bölgenin (üçgenin) alanı bölü $[0,1]\times [0,1]$ karesinin alanı yani $$P=\dfrac{\frac{1}{2}}{1\cdot 1}=\frac12$$

(11.5k puan) tarafından 

Bu yaklaşımla $[0,1]\times [0,1]$ den seçilen bir $A(x,y)$ noktasının koordintları toplamının ,yani $x+y>1$ olması olasılığı da 1/2 olacaktır. O zaman bu bölgede bulunan ve  $x+y=1$  koşulunu sağlayan noktaların olasılığı kaçtır? Olasılıklar toplamının $1$ olduğu unutulmazsa! 

Düşünelim.   

$x+y=1$ koşulunu sağlayan $(x,y)$ ikililerinin oluşturduğu bölge bize $[0,1]$ aralığında şeklini şemalini bilmediğimiz (belki de bildiğimiz..) bir eğri verir bize. Bu eğrinin alanı da sıfırdır.

$x+y>1$ veya $x+y<1$ koşulunu sağlayan (x,y) ikililerinin oluşturdukları bölgeler(alanlar)in olasılıklarını, o bölgenin alanını bütün alana bölerek bulduğumuza göre, $x+y=1$ koşulunu sağlayan noktaların olasılığı da sıfırdır diye düşünüyorum.

Hocam $x+y=1\Rightarrow y=1-x $ bir doğru denklemi olup, Karesel bölge olan bu alanın bir köşegenidir.  $[0,1]\times[0,1]$ bölgesinde rastgele seçilen bir nokta $A(x,y)$ olsun .

1) $x+y<1$ olması olasılığı, hem Sercan hocanın hemde Murad hocanın çözdüğü gibi $1/2$  dir.(Bence tartışılması gereken bu sonucun doğruluğu).

2.  Eğer 1. maddede bulunan sonuç doğru ise bunun bir sonucu (Alanlar eşit olduğundan) olarak $x+y>1$ olması olasılığı da $1/2$ olur.

3.Eğer $x+y=1$ olması olasılığı Ece hocamın yaklaşımıyla $0$ ise o zaman da 

      a) $P(x+y<1)=P(x+y>1)=P(x+y\leq1)=P(x+y\geq1)=\frac12$  olacak ve 

      b) $P(x+y=1)=0$ olduğundan Mesala sözkonusu alanda olduğundan emin olduğumuz $(\frac12,\frac12),(\frac13,\frac23)$ gibi sonsuz noktanın olasılığı $"0"$ olacaktır. Bu ise $x+y=1$ koşulunu sağlayan sonsuz noktanın olasılığını yok saymaktır. Buı doğru değildir.

      c) Bir olayla, o olayın değilinin(tümleyeninin) olasılığı toplamının $1$ olduğunu biliyoruz. Burada $P(x+y>1)+P(x+y<1)=1$ yazabiliyoruz. Oysa  $x+y<1$ in değili $x+y\geq1$ dir. Dolayısıyla $P(x+y<1)+P(x+y \geq1)=1$ olmalıdır. Buradan $1/2+P(x+y\geq1)=1 \Rightarrow P(x+y\geq1)=\frac12$

      d) $P(x+y\geq1)=P(x+y>1)+P(x+y=1)=1/2+P(x+y=1)=1/2$  den $P(x+y=1)=0$ bulunur. Bu ise yukardaki $ b$ şıkkı ile çelişkidir.

O halde $1/2$ sonucu ne kadar doğru?

Peki size bir soru.. Toplamların 1 den küçük olma olasılığını düşünürken neden o koşulu sağlayan alanı bütün alana bölüyorsunuz? bunu biraz düşünmelisiniz bence... Madem alansal bakıyoruz olaya;

$x+y=1$ koşulunu sağlayan noktaları birleştiğimizde (ki bu $x\in [0,1]$ için $x+y=1$ doğrusudur.) duruma alansal baktığımız için, doğrunun alanını bütün alana bölmek gerekir. Peki, çizgisel bir eğrinin alanından bahsedebilir miyiz? Ya da bu karesel alandan mesela bu $x\in [0,1]$ için $y=\frac{1}{2}$ doğrusunu çıkarırsak alandan bişey kaybeder miyiz? Nacizane fikrim bunların üzerinde biraz düşünülmeli bence..

Sayın Ece Çelik hanımefendi.

  Yukardaki yorumlarımı yazarken her zaman olduğu gibi düşünerek yazmama rağmen siz; bütün bunları yazarken yeterince düşünüp düşünmediğim hususunu, yeterince düşünüp(!) sonunda benim biraz olsun düşünmediğime karar vererek, bana biraz olsun düşünmeyi öğütlüyorsunuz. Bunu yazarken sizin ne kadar düşündünüzü bilmiyorum. Ama,rahatsız edici olmasına rağmen yine de bana biraz düşünmemi tavsiye etmenizden dolayı çok teşekkür ederim. 

   Sizinle aynı fikirde olmayan, sizin gibi düşünmeyen, herkese biraz düşünmeyi tavsiye etmek pek uygun bir yol gibi görünmemektedir. Matematik ve bilim tarihi birbiri gibi düşünmeyen yığınla insanla doludur. Belkide bu sebeple matematik bugünkü durumunda.

    Benimde size;

   -Eğer nokta boyutsuz ise,(ki öyle kabul ediliyor) gerçekten öyle olup olmadığını, eğer nokta boyutsuz ise noktada süreksizliğin nasıl mümkün olabildiğini, Boyutsuzluğun süreksizliğe nasıl sebep olduğunu, bunun ne kadar doğru olduğunu,

    -Eğer çizgisel bir eğrinin alanı sıfır ise( acaba gerçekten öyle mi?) karesel bir alanın cizgisel alanlardan nasıl oluştuğunu,belirli integralin hesaplanma yöntemlerinden bölüntü ve dikdörtgenler yolu ile bulunmasının ne anlama geldiğini, 

    - Yarıçapı $|AB|$ olan $A$ merkezli çemberi çizelim. Sonra $B$ noktasından başlayarak her seferinde yarıçapın $B$ noktası tarafından bir nokta atıp yeniden bir çember çizelim ve bu çember çizimine sonsuz kez devam edelim.Sonuçta ne elde edebileceğimizi, 

 Öğrenilmiş ve sorgulanmamış bilgilerden kurtulmuş olara biraz olsun düşünmenizi öneriyorum 

Ben rahatsız olmanıza sebep olmak istememiştim. Sadece fikiirlerimi belirttim. Rahatsız edici bulduysanız afedersiniz, kusuruma bakmayın.

Mehmet hocam, sonsuz seçeneğin olması, olasılığın sıfır olmayacağı anlamına gelmez. Örneğin $[0,1]$ aralığından düzgün dağılımla (yani her sayıyı seçme olasılığının aynı olduğu dağılımla) rastgele bir sayı seçerseniz, $1/2$'yi seçme olasılığı SIFIRDIR. 

20,274 soru
21,803 cevap
73,476 yorum
2,428,363 kullanıcı