$\displaystyle f(x) =\frac1{x^2+9x+20}$ olduğuna göre , $\small f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5)$ toplamı kaçtır ?

Question

f(x) =1/x²+9x+20 olduğuna göre , f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) toplamı kaçtır ?

Cevap : 1/10

Yardımlarınız için şimdiden teşekkürler.

Answer 1

1/(×+4).(×+5)=(1/×+4)-(1/×+5)

(1/5-1/6)+(1/6-1/7)+...+(1/9_1/10)=1/10

Answer 2

Sizin yazdığınızdan fonksiyonun  $f(x)= \frac{1}{x^2}+9x+20$  şeklinde olduğu anlaşılıyor. O zaman :

 $f(1)=\frac11+9+20=30$ 

 $f(2)=\frac14+18+20=\frac{153}{4}$ ,$\dots$ ve $f(5)$ bulunur hepsi toplanır.

Ama verdiğiniz cevaptan sizin kastettiğiniz (yazmak istediğiniz) fonksiyon $f(x)=\frac{1}{x^2+9x+20}$ şeklinde olduğu açık. Bunu  f(x)=\frac{1}{x^2+9x+20} ifadesinin başına ve sonuna dolar işareti koyarak yazabilirsin.  Şimdi çözüme geçelim.

$$f(x)=\frac{1}{x^2+9x+20}=\frac {1}{(x+4)(x+5)}=\frac {A}{x+4}+\frac{B}{x+5}$$ şeklinde basit kesirlere ayrılır. Sonra eşitlğin sağında paydalar eşitlenir ve iki polinomun eşitliği kuralından $A,B$ değerleri bulunur. yerine yazılır. Şimdi bu işlemleri yapalım.

$$\frac {1}{(x+4)(x+5)}=\frac {A(x+5)+B(x+4)}{(x+4)(x+5)}$$, $$\Rightarrow 1=Ax+5A+Bx+4B$$

$$1=(A+B)x+5A+4B   \Rightarrow A+B=0,              5A+4B=1 $$ ve $$A=1, B=-1$$ bulunur. Bunları fonksiyonun basit kesirli halinde yerine yazalım ve $x$'e biden beşe kadar değerler verip alt alta toplayalım.$$f(1)=\frac15-\frac16$$, $$f(2)=\frac16-\frac17$$, $$f(3)=\frac17-\frac18$$, $$f(4)=\frac18-\frac19$$, ve $$f(5)=\frac19-\frac{1}{10}$$,

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=\frac15-\frac{1}{10}=\frac{1}{10}$$ bulunur.