5 lira kaç farklı şekilde elde edilebilir?

Question

(0,5) (0,10) (0,25) (0,50) (1) ve (5) liralık para birimleri ile istediğiniz kadar miktarı istediğiniz kadar kullanarak kaç farklı 5 lira elde edilebilir?(Örneğin 4 tane bir lira 1 tane 50 kuruş bir tane 25 kuruş 2 tane on kuruş bir tane 5 kuruş)

Comments

 İstenen $$a,b,c,d,e,f$$ birer neğatif olmayan tamsayı olmak üzere ;

 $$\frac a{20}+\frac b{10}+\frac c{4}+\frac d{2}+e.1+f.5=5$$ nin ya da 

$$a+2b+5c+10d+20e+100f=100$$ denkleminin bütün neğatif olmayan tamsayı çözümleridir.

---

Hocam çok sagolun fakat sorduğum bu denklemin kaç çözümü var olduğuydu zaten.

---

Haklısınız. Ben zaten çözmek isteyen arkadaşlara biraz olsun yardımcı olmak istedim. Tabii ben de düşüneceğim.

---

Bu denklemi çözmek pek mantıklı değil, baya yorucu olur...

---

Çözmek mantık fakat çözüm oldukça uzun. tabii ki çözümlerde bilgisayarlardan yararlanabiliriz. Ama "matematik için bir kalem ve bir kağıt yeterli" ilkesine göre çözüm...?

---

Metok Hocam anlatmaya çalıştığım: " Soru belli bir sayma ilkesine göre çözülebilecek kolaylıkta değil, soruyla uğraşan arkadaşlar sorunun ne düzeyde olduğunun pek farkında değiller. Bence zamanlrini çok daha faydalı değerlendirebilirler. Sorunun popülerliği ve zorluğu matematiksel mantığından değil denklemin zorluğundan kaynakli. Buna benzer bir çok denklem olusturabiliriz."

---

Evet sistematik bir çözüm bulmak oldukça güç.Ama birazda gençlerin yılmadan,usanmadan,uğraşarak doğruyu görmelerine bir yol göstermek için yarı yolda bıraktım.Siteyi takip edenlerin matematik bilgisi açısından çok farklı düzeyde olduklarını dikkate alırsak bazen böyle de yapmak gerektiğini düşünüyorum. Yoksa sizin düşüncelerinizden katılmadığım yok. Bir de katılımcılardan kaç kişi C++ proğramlama dilini ve kullanmayı biliyor? Örneğin ben bilmiyorum. Sadece output ise, tek başına ne kadar anlamlı? Soruyu yazıp cevabı vermek gibi. Matematik böyle mi  yapılmalıdır? 

---

Mehmet Hocam demek istediğim pek anlaşılmıyor. 

Ben de Turbo C^++ bilmiyorum, o da bir çözüm değil zaten sadece cevabı gösteren bir yöntem.

Fikirlerinize sonuna kadar katılıyorum. Gençler elbette yılmadan, usanmadan uğraşarak doğruyu görsünler fakat bu uğraşma bir matematiksel düşünme disiplini ve doğru düşünme yetisi kazandırsın.Bıraktığınız yol yarı yol değil hocam bu işlem saymakla bitmez. Çözümü bitirmenizi rica etsem bir süre sonra sizde fark edeceksinizki gereksiz yere elemanları teker teker sayıyoruz. Ben sadece bu uyarıyı yaptım. Matematik nasıl yapılır, yapılmaz tartışmasını veya bu işe duyulan aşkı bunlara karıştırmayı çok anlamlı bulmuyorum. Denklemin zorluğunu ifade etmeye çalışan bir kişiye neden evrensel mesajlar üzerinden matematik dersi vermeye çalışıyorsunuz bunu da anlamıyorum.

Answer 1

$0\leq a\leq100$,

$0\leq b\leq50$,

$0\leq c\leq20$,

$0\leq d\leq10$ ,

$0\leq e\leq5$,

$ 0\leq f\leq1 $ olduğu açık.  Herhangi bir çözüm $(a,b,c,d,e,f)$ sıralısı olmak üzere;

1) Yalnız bir bileşeni sıfırdan farklı olan (a,0,0,0,0,0),(0,b,0,0,0,0),(0,0,c,0,0,0),(0,0,0,d,0,0),(0,0,0,0,e,0) ve (0,0,0,0,0,f) biçimindeki çözümlerin sayısı:100+50+20+10+5+1=186 tanedir.

2)İki bileşeni sıfırdan farklı olan: (a,b,0,0,0,0),(a,0,c,0,0,0),(a,0,0,d,0,0),...,(0,0,0,0,e,f) biçimindeki çözümlerin sayısı:48+19+9+4+9+9+4+9+4+4=119,

3) yalnız üç bileşeni sıfırdan farklı,... devamla bulunan sonuçlar toplanmalıdır.

Daha kısa bir çözümü merakla takip edeceğim.

Comments

Bu işi aşk ile yapan insanları görmek insanı çok mutlu ediyor.

---

Dexor hocam yazdıklarınızı üzerime alındım ve üzüldüm.

Anlatmaya çalıştığım soru belli bir sayma ilkesine göre çözülebilecek kolaylıkta değil. Metok hocamın yaptığı sistematik olarak ilerleyen bir durum değil, bir süre sonra çözüme bu şekilde ulaşmanın çok çok yorucu ve işlemsel yoğunluktan öteye gitmediği görülüyor. 

Sorunun gerçekliği ile ilgili yorum yapmak matematiği sevmek ya da sevmemek anlamına gelmez sanırım hocam...

---

Teşekkürler Hocam.

---

Bir yanlış anlaşılma olmuş Temel hocam kesinlikle sizi kast etmemiştim.Hocamızın gayreti sadece deyinmek istemiştim.Sizi kırdıysam ya da üzdüysem özür dilerim.

---

Nezaketiniz için teşekkür ederim dexor hocam. Sanirim bende biraz bugun fazla alinganim :).Mehmet Hocam'a da size de emekleriniz icin teşekkür ederim. Lütfen benimde kusuruma bakmayiniz...

Answer 2

Bu denklemin C++ kullanılarak yapılmış bir çözümünü görmüştüm, Ali Nesin Hocam'ızın facebook sayfasını takip ederseniz konuyla ilgili bilgilenebilirsiniz.98411 farklı sonuç var...

#include <cstdio>

int c[] = { 100, 50, 25, 10, 5, 1 };
int dp[501][6];

int main()
{
    for(int i = 0; i <= 500; ++i)
    {
        dp[i][5] = 1;
    }
    for(int j = 4; j >= 0; --j)
    {
        for(int i = 0; i <= 500; ++i)
        {
            for(int k = 0; k <= i / c[j]; ++k)
            {
                dp[i][j] += dp[i - k * c[j]][j + 1];
            }    
        }
    }
    printf("%d", dp[500][0]);
    return 0;
}

Output:

98411

Answer 3

http://matkafasi.com/14455/kac-farkli-sekilde-odeme-yapilabilir

http://matkafasi.com/14442/sayisini-sekilde-pozitif-sayilarin-toplami-olarak-yazabiliriz

Oncelikle butun paralari kurusa cevirellim..

$(1+x^{5}+x^{10}+...+x^{500})\\
\times(1+x^{10}+x^{20}+...+x^{500})\\
\times(1+x^{25}+x^{50}+...+x^{500})\\
\times(1+x^{50}+x^{100}+...+x^{500})\\
\times(1+x^{100}+x^{200}+...+x^{500})\\
\times(1+x^{500})$

Carptigimizda $x^{500}$ un katsayisi cevap olacaktir..

Mathematica ile cevap, eger hata yapmadiysam, 4112 cikiyor..

Answer 4

.........................  

Bununla birlikte kac farkli sekilde 400 kurus elde edilebilecegini de soyleyebilirim. $x^{400}$ katsayisina bakmak yeterli 1955. veya 190 kurus  201 farkli sekilde elde edilebilir.. ama 600 kurus 7628 farkli sekilde elde edilir diyemeyiz, cunku seriyi 500'e kadar actik..ama7628 den daha fazla oldugu asikar..kisacasi 500 den kucuk toplamlar icin dogru sonuc verirken, 500 den buyuk icin bu seri acilimi kullanilamaz.. kac farkli sekilde 600 kurus elde edebilirizin cevabi icin seri 600'e gore acilmaliydi..

Answer 5

Denklemin negatif olmayan tamsayi cozumlerinin bazilari ve sayisi..