L'Hôpital Kuralı (Basit Şekli);
$f(a)=g(a)=0$ olduğunu , $f'(a)$ ve $g'(a)$ 'nın var olduğunu ve $g'(a)\neq 0$ olduğunu varsayın.
Bu durumda, $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f'(a)}{g'(a)}$ olur.
İspatı:
Kendileri de limitle gösterilen $f'(a)$ ve $g'(a)$ 'dan tersine matematik yaparsak,
$\dfrac{f'(a)}{g'(a)}=\dfrac{\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\lim\limits_{x\to a}\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}}$
$=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-\overbrace{f(a)}^0}{g(x)-\underbrace{g(a)}_0}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$
$----------------$
L'Hôpital Kuralı (Daha kuvvetli hali):
$f(a)=g(a)=0$ olduğunu , $f$ ile $g$'nin $a$ noktasını içeren bir $I$ açık aralığında türevlenebilir olduklarını varsayın.Ayrıca $x\neq a$ ise ,$I$'da $g'(x)\neq0$ olduğunu varsayın.Bu durumda ,sağdaki limitin var olması koşuluyla,
$\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ olur.
$\star----------------------\star$
Cauchy Ortalama Değer Teoremi:
$f$ ve $g$ fonskiyonlarının $[a,b]$ aralığında sürekli ,$(a,b)$ 'de türevlenebilir olduklarını ve ayrıca $(a,b)$'de $g'(x)\neq0$ olduğunu varsayın.Bu durumda ,$(a,b)$'de ;
$\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ olacak şekilde bir $c$ sayısı bulunur.
$\star----------------------\star$
Cauchy'nin ispatı:
$g'(c)\neq0$ olduğundan , $g'(c)=\dfrac{g(b)-g(a)}{b-a}\neq 0$ yani,$g(a)\neq g(b)$ dir.
$F$ fonksiyonu yaratmak istiyoruz ve burada rolle teoremi,yani ortalama değer teoremini kullanmak istiyoruz,
Yani bize $F(a)=F(b)$ olacak dolayısıyla $F'(c)=0$ 'ı sağlayacak bir fonksiyon lazım,"$(a,b)$" aralığı hala kafanıza canlana-dursun.
$F(x)=f(x)-f(a)-\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))$
$F$ fonksiyonu $f$ ve $g$ ile ortak bölgelerde türevlenebilirdir. Şimdi türev alalım,
$F'(c)=0=f'(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g'(c))$ olur yani,
$\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ , durumunu elde ederiz bu da zaten istediğimiz şey idi,Q.E.D. . $\Box$
$\star----------------------\star$
L'Hôpital Kuralı :Daha kuvvetli hali'nin ispatı:
Murad hocanın tanımlarını verdiği ,$x\to a^+$ için yapalım,
$x$'in $a$'nın sağında bulunduğunu varsayın.Bu durumda $g'(x)\neq 0$ olur ve $a$'dan $x$'e kadar olan kapalı aralıkta "Cauchy O.D. Teoremi"ni uygulayabiliriz.Bu adım, $a$ ile $x$ arasında ,
$\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}$ olacak şekilde bir $c$ sayısını sağlar.$f(a)=g(a)=0$ olduğundan dolayı,
$\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ olur, $x$ , $a$'ya yaklaşırken ,$c$ de $a$'ya yaklaşır , çünki $c$, $x$ ile $a$ arasındadır.Böylece ;
$\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{c\to a^+}\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ olur.Bu l'hôpital kuralını $x$'in $a$'ya sağdan yaklaştığı durum için doğrular. $x$ 'in $a$'ya soldan yaklaşımı için;
$x\to a^-$ için yapalım,
$x$'in $a$'nın solunda bulunduğunu varsayın.Bu durumda $g'(x)\neq 0$ olur ve $a$'dan $x$'e kadar olan kapalı aralıkta "Cauchy O.D. Teoremi"ni uygulayabiliriz.Bu adım, $a$ ile $x$ arasında ,
$\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}$ olacak şekilde bir $c$ sayısını sağlar.$f(a)=g(a)=0$ olduğundan dolayı,
$\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ olur, $x$ , $a$'ya yaklaşırken ,$c$ de $a$'ya yaklaşır , çünki $c$, $x$ ile $a$ arasındadır.Böylece ;
$\lim\limits_{x\to a^-}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{c\to a^-}\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\lim\limits_{x\to a^-}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ olur. 2 sonucu da birleştirir isek,
$\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}}}$ ispatlanır. Q.E.D. $\Box$