$\mathbb{R}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{R}$ içinde $1$'in karekökleri

Question

Gösteriniz ki $\mathbb{R}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{R}$ içinde $1$'in sonsuz çoklukta karekökü vardır.

Comments

http://matkafasi.com/9950/%24x-2-1-0%24

Answer 1

$\sqrt{n}\otimes \frac{1}{\sqrt{n}}$, $n$ tam kare olmayan herhangi bir pozitif tamsayi.

Comments

Bir başka yorum da eklendi.

Answer 2

Şöyle küçük bir açıklama yapmakta fayda var. Biliyoruz ki $$\mathbb{R}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(\sqrt[n]2)\cong \mathbb{R}[X]/(X^n-2)$$ şeklinde bir $\mathbb{R}$-cebri izomorfizmamız var. Şimdi $\mathbb{Q}$-doğrusal olan $\mathbb{Q}(\sqrt[n]2)\hookrightarrow \mathbb{R}$ gömmesini, $\mathbb{R}$-doğrusal olan $$\mathbb{R}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(\sqrt[n]2)\hookrightarrow \mathbb{R}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{R}$$ gömmesine genişletelim. Açık ki bu gömme çarpmayı da koruyor. Bu demek ki $ \mathbb{R}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{R}$  halkası, $\mathbb{R}[X]/(X^n-2)$ halkasına izomorfik olan bir halka içermeli. 

Eğer $n$ tekse, $X^n-2$ polinomu $\mathbb{R}[X]$ içinde $1$ tane doğrusal faktöre, $(n-1)/2$ tane de ikinci dereceden indirgenemez faktöre sahip. Bu durumda, $\mathbb{R}$-cebri olarak, $$\mathbb{R}[X]/(X^n-2)\cong \mathbb{R}\times \mathbb{C}^{(n-1)/2}$$ şeklinde bir izomorfizmamız var. O halde, $\mathbb{R}[X]/(X^n-2)$ halkası $2^{1+(n-1)/2}=2^{(n+1)/2}$ tane $1$'in karekökünü içermeli.

Demek ki $n\to\infty$ iken $\mathbb{R}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{R}$ içinde $1$'in sonsuz tane karekökü var.