İntegral

Question

$1-)f(x)=\int_{1}^{x} f(t) dt$ ve $f(t)=\int_{tan(t)}^{t^2} \frac{1}{\sqrt{1+u^2}} du$ ise $f(x)$ fonkyonun ikinci türevinde $\frac{\pi}{4}$ kaçtır?

$2-)\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{\infty} ln(\sqrt[n]{1+\frac{i}{n}})$ bu ifadeyi integral şeklinde yazınız.

Answer 1

1) ilkinde iki tane $f$ var. Ben sagdakine $g$ diyecegim.

$f'(x)=g(x)$ ve $f''(x)=g'(x)=2x\frac{1}{\sqrt{1+x^4}}-\sec^2 x\frac{1}{1+\tan^2 x}$. Burda temel teoremi kullandik, gerekli sadelestirmeler yapilabilir.

2) $\lim\limits_{n \to \infty}\frac1{n}\sum\limits_{i=1}^{\text{burasi $n$ olmali}}\ln(1+\frac in)=\int_0^1\ln(1+x)dx$.

Comments

Büyük adamsın Sercan hocam.

Answer 2

1-) $\int f(x)dx=F(x)+c $       ise $F'(x)=f(x)$ olduğunu biliyoruz. Ayrıc $u(t),v(t)$ olmak üzere $\int_{u(t)}^{v(t)}f(x)dx=F(v(t))-F(u(t)) $ olduğundan

$\frac{dF(t)}{dt}=v'(t).F'(v(t))-u'(t)F'(u(t))=v'(t).f(v(t))-u'(t)f(u(t))...................(1)$ dir.

Burada Dogan hocama çok teşekkür etmeliyim. O uyarmasaydı yorgunluk ve dalgınlıkla $\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx= arcsinx+c$ olarak yazdığımı fark etmeyecektim. Tabii ki bu önemli hatayı düzelttim. 

$f(t)=\int_{tant}^{t^2}\frac{du}{\sqrt{1+u^2}}$  Bu integral $u=tan\theta$ dönüşümü ile bulunur. Sonuç (1) de kullanılır ve biraz sabır ve uğraşla $f''(\frac{\pi}{4})$   hesaplanır.