Aşağıdaki cevap aslında Ali Nesin'in Analiz II kitabında 13.
Genelleştirilmiş Binom Açılımı (sayfa 238) kısmın bu soruya
uyarlanmış şeklidir.
https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/analiz_2.pdf
$x$ herhangi bir gerçel sayı $x>0$ olsun. $n\geq 0$ olduğuna göre $\binom{x}{n}$ kombinasyonunun
\[
\binom{x}{0}=1\text{ ve }n\geq 1\text{ ise }\binom{x}{n}=\frac{x\left(
x-1\right) \cdots \left( x-n+1\right) }{n!}
\]
olarak tanımlandığını hatırlayalım. O halde sözü edilen seriyi $\sum\limits_{n=0}^{\infty }\binom{x}{n}$ olarak görebiliriz. Şimdi
\[
a_{n}\left( x\right) =\binom{x}{n}\text{ ve }b_{n}\left( x\right)
=\left\vert a_{n}\left( x\right) \right\vert =\left\vert \binom{x}{n}
\right\vert
\]
koyalım. $S_{n}$, $\sum\limits_{n=0}^{\infty }a_{n}\left( x\right) $ serisinin $n$. kısmi toplamı ve $T_{n}$, $\sum\limits_{n=0}^{\infty
}b_{n}\left( x\right) $ serisinin $n$. kısmi toplamı olsun. $N$ pozitif tamsayısını $N\geq x$ olacak şekilde seçersek $n\geq N+1$ için
\[
b_{n+1}=\left\vert \binom{x}{n+1}\right\vert =\frac{\left\vert
n-x\right\vert }{n+1}\left\vert \binom{x}{n}\right\vert =\frac{n-x}{n+1}b_{n}
\]
\[
nb_{n}-\left( n+1\right) b_{n+1}=xb_{n}
\]
dir. Buradan
\[
\sum\limits_{k=N+1}^{n}\left( kb_{k}-\left( k+1\right) b_{k+1}\right)
=x\sum\limits_{k=N+1}^{n}b_{k}
\]
\[
b_{N+1}\left( N+1\right) >b_{N+1}\left( N+1\right) -b_{n+1}\left( n+1\right)
=x\left( T_{n}-T_{N}\right)
\]
Buradan
\[
\frac{1}{x}\left( N+1\right) b_{N+1}+T_{N}>T_{n}
\]
elde edilir. O halde $\sum\limits_{n=0}^{\infty }b_{n}\left( x\right) $ serisi $x>0$ için yakınsaktır. Bu ise $f\left( x\right)
=\sum\limits_{n=0}^{\infty }a_{n}\left( x\right) $ serisinin $x>0$ için mutlak yakınsak olmasını gerektirir.
$\left\vert r\right\vert <1$ ise Binom açılımından dolayı $
\left( 1+r\right) ^{x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }a_{n}\left( x\right) r^{n}
$ dir. Abel teoreminden dolayı ($x$ sabit tutulursa)
\[
2^{x}=\lim_{r\rightarrow 1}\left( 1+r\right) ^{x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty
}a_{n}\left( x\right) =f\left( x\right)
\]
O halde her $x>0$ için $f\left( x\right) =2^{x}$ dir.