Bir tam fonksiyonun sıfırları hakkında

Question

Diyelim ki $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ bir tam (entire) fonksiyon olsun. 

1) Eğer $f$'nin sayılamaz (uncountable) çoklukta sıfırı varsa, $f$ aslında $0$ fonksiyonudur.

2) Sayılabilir (countable) çoklukta sıfırı olan tam fonksiyon var mıdır?

Comments

1. İpucu: Düzlemde sayılamaz çoklukta bir alt kümenin yığılma (limit) noktası olur

2. trigonometrik fonksiyonları düşünün

---

TAM FONKSIYON NE DEMEKTI? HATIRLATIR MISINIZ?

---

Ben genel olarak, site icerisinde, sorularda hatirlatmalari seviyorum ama hatirlatma olmadiginda bunu istemek yerine yazabiliriz de. Yani karisik tanimlar olabilir, o zaman istenebilir hatirlatma ya da fazladan aciklama. Mesela ben Stickelberger Teoreminin uygulamalarini sordum. Hakli olarak bana hangi teorem dendi. Benim ufkum bir teoremlik olabilir ama soru hakli. Fakat tam fonksiyon  tam fonksiyondur. Biri cevaplayacaksa bunu bilmeli. Soruyu ve cevabi okuyan da az biraz arastirmali.. degil mi?

---

(Akılsız) telefondan ancak bu kadar oluyor.

Answer 1

$f$ nin sabit olmayan bir tam fonksiyon ve $Z(f)=\{z:f(z)=0\}$ nin sayılamaz olduğunu varsayalım.

$m,n\in\mathbb{Z}$ için $K_{m,n}=\{x+iy:\ n-1\leq x\leq n,\ m-1\leq y\leq m\}\subset\mathbb{C}$ olsun. Her bir $K_{m,n}$  sınırlıdır. $\mathbb{C}=\bigcup_{m,n\in\mathbb{Z}}K_{m,n}$ dir.

$Z(f)=\bigcup_{m,n\in\mathbb{Z}}\left(Z(f)\cap K_{m,n}\right)$ olduğundan, (Sayılabilir kümelerin sayılabilir birleşimi sayılabilir olduğu için) en az bir $Z(f)\cap K_{m,n}$ sayılamaz kümedir  dolayısıyla sonsuzdur. Bolzano-Weierstrass teoreminden bu kümenin bir yığılma (limit) noktası vardır, bu noktaya $z_0$ diyelim. $f$ nin sürekliliğinden, $Z(f)$ kapalı kümedir, dolayısıyla, $z_0\in Z(f)$ olur, yani $f(z_0)=0$ dır. Kompleks Analiz derslerinde, sabit 0 dışındaki tüm analitik fonksiyonların sıfırlarının izole (ayrık) olduğu (genellikle kuvvet serileri yardımıyla) ispatlanır, ama $z_0$ ın her komşuluğunda $f$ nin başka sıfırları var. Çelişki.

(Çözümü yazıp bitirdikten sonra sorunun çözülmüş gördüm ama bir çözüm daha olsun)

Answer 2

$Z=\{z:f(z)=0\}$ ve $B_{\epsilon}(z)=\{w\in\mathbb{C}:|w-z|<\epsilon\}$ tanımlarını yapalım.

İddia: Öyle bir $z\in Z$ vardır ki, her $\epsilon>0$ için, $B_{\epsilon}(z)$ kümesi içinde, $f$'nin $z$'den başka bir sıfırı vardır.

İspat: Diyelim ki her $z\in Z$ için, öyle bir $\epsilon>0$ vardır ki, $B_{\epsilon}(z)$ kümesi $f$'nin $z$'den başka bir sıfırını içermez. Şimdi $B_{\epsilon/2}(z)$ kümelerini düşünelim. Kolayca gösterilebilir ki bu kümeler, ikişer ikişer ayrıklar. $\mathbb{Q}+i\mathbb{Q}$ kümesi, $\mathbb{C}$ içinde yoğun (dense) olduğu için, $(\mathbb{Q}+i\mathbb{Q})\cap B_{\epsilon/2}(z)$ kümesi boştan farklı. Şimdi bir $w_z\in(\mathbb{Q}+i\mathbb{Q})\cap B_{\epsilon/2}(z)$ elemanı alalım. Yukarıdan biliyoruz ki, $$f:Z\to \mathbb{Q}+i\mathbb{Q}\ \ \ \ , \ \ \ z\mapsto w_z$$ şeklinde tanımlanan fonksiyon birebir. Buradan ve $\mathbb{Q}+i\mathbb{Q}$ kümesinin sayılabilir (countable) olduğu gerçeğinden, $Z$ kümesinin de sayılabilir olduğunu sonucunu çıkarabiliriz. Çelişki.

Demek ki gerçekten öyle bir $z\in Z$ vardır ki, her $\epsilon>0$ için, $B_{\epsilon}(z)$ kümesi içinde, $f$'nin $z$'den başka bir sıfırı var. Diğer bir deyişle $z$ elemanı $Z$ kümesnin bir limit noktası. Kalıcılık ilkesi (principle of permanence) der ki, bir analitik fonksiyonun sıfırları kümesi, $\mathbb{C}$'nin  bağlantılı (connected) ve açık (open) bir bölgesinde bir limit noktasına sahipse, bu fonksiyon bu bölgede özdeş olarak (identically) $0$'a eşittir. Açık ki $\mathbb{C}$ bölgesi kendi içinde bağantılı ve açık. Demek ki $f$, $\mathbb{C}$ üzerinde özdeş olarak $0$.