$$\lim\limits_{x\to \infty}x\left(\sqrt{9x^2+1}-3x\right)=\lim\limits_{x\to \infty}x\left(\sqrt{9x^2+1}-3x\right) \frac{\sqrt{9x^2+1}+3x}{\sqrt{9x^2+1}+3x} $$$$=$$$$\lim\limits_{x\to \infty}x\cdot \frac{9x^2+1-9x^2}{\sqrt{9x^2+1}+3x} =\lim\limits_{x\to \infty} \frac{x}{\sqrt{9x^2+1}+3x} =\lim\limits_{x\to \infty} \frac{x}{|3x|\sqrt{1+\frac{1}{9x^2}}+3x} $$ $$ =$$$$\lim\limits_{x\to \infty} \frac{x}{|3x|\sqrt{1+\frac{1}{9x^2}}+3x}=\lim\limits_{x\to \infty} \frac{x}{3x\left(\sqrt{1+\frac{1}{9x^2}}+1\right)}=\frac{1}{6}$$