hocanın kaldığı yerden devam edelim
$\lim_{x\to \infty}\frac{{\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}+\sqrt{x}}$
$\sqrt {x}=y$ olsun , $x\rightarrow \infty \Rightarrow y\rightarrow \infty $
$\lim _{y\rightarrow \infty }\dfrac {\sqrt {y^{2}+y}}{\sqrt {y^{2}+\sqrt {y^{2}+y}}+y}$
$\lim _{y\rightarrow \infty }\dfrac {y\cdot \sqrt {1+\dfrac {1}{y}}}{y\sqrt {( 1+\dfrac {\sqrt {1+\dfrac {1}{y}}}{y}}+y}$
$\lim _{y\rightarrow \infty }\dfrac {y\sqrt {1+\dfrac {1}{y}}}{y\left( 1+\sqrt {1+\dfrac {\sqrt {1+\dfrac {1}{y}}}{y}}\right) }$
$=\dfrac {1}{2}$