Önerme: $X_i$ uzayları $X$ uzayının bağlantılı altuzayları ve $\bigcap_i X_i \neq \emptyset$ ise $\bigcup_i X_i$ bağlantılıdır. (Başka bir deyişle, kesişimi boştan farklı bağlantılı altuzayların bileşimi bağlantılıdır.)
İspatı bu önermeyi kullanarak yapacağız. Önce iki altuzay topluluğu tanımlayalım: Önce, her $q \in \mathbb Q$ rasyonel sayısı için
$$ A_q=\{(x,0):x\in \mathbb R\} \cup \{(q,y): y \in \mathbb R \}$$
altuzayını, yani $x$ ekseniyle $x=q$ doğrusunun bileşimini düşünelim. Bu iki doğru da $\mathbb R$ ile homeomorfik olduklarından bağlantılıdır ve $(0,q)$ noktasında kesişirler. Dolayısıyla, en baştaki önermeden her bir $A_q$ altuzayı bağlantılıdır.
Aynı şekilde, her $q \in \mathbb Q$ rasyonel sayısı için tanımladığımız
$$ B_q=\{(x,q):x\in \mathbb R\} \cup \{(0,y): y \in \mathbb R \} $$
altuzayının, yani $x=q$ doğrusu ve $y$ ekseninin bileşiminin de bağlantılı olduğunu görebiliriz.
Son olarak, bütün $A_q$ ve $B_q$ altuzaylarının her birinin orijini içerdiğini (dolayısıyla kesişimlerinin boştan farklı olduğunu) ve
$$ X= (\bigcup_{q \in \mathbb Q} A_q) \cup (\bigcup_{q \in \mathbb Q} B_q)$$
olduğunu gözlemleyelim. Önermeyi bütün $A_q$ ve $B_q$ altuzaylarından oluşan topluluğa uyguladığımızda, $X$ uzayının bağlantılı olduğu sonucunu elde ederiz.